一类带有交错扩散项的捕食-食饵模型的分歧分析*

廖思源

(哈尔滨师范大学)

0 引言

捕食-食饵系统一直是生态学和生物数学研究的重要内容，其理论研究主要包括系统平衡点的稳定性、极限环的存在性、正解的存在性和稳定性以及分歧等问题，其中正解若存在，则表明在一定参数区域内捕食者和食饵能够共存.

在［1］中Leslie和Gower提出如下经典的捕食-食饵模型

(1)可以看做是生态学研究中捕食-食饵系统的原型，但是其相互作用项是无界的，这在现实中是不合理的.通过利用在文献［2］中提到的关于食饵和捕食者相互作用项的HollingⅡ型响应函数，可以得到如下带有饱和响应函数的Leslie-Gower捕食 -食饵模型

模型(2)是建立在这样的生物学事实上:如果捕食者从它最喜欢的食物(食饵u)转移到其它可选食物上的能力越强，那么当食饵种群数量低的时候其生存能力就越强.

由于种群会从高密度区域向低密度区域迁徙，在文献［3-4］中考虑了如下带有扩散项的Leslie-Gower模型

文献［3］中讨论了模型(3)在某些参数条件下正解的存在性.文献［4］中考虑了其正解的多解性以及在特定条件下正解的唯一性，并给出了一些数值模拟的结果.

在迁徙中，食饵有向捕食者密度低的区域逃离的趋势，这可以用交错扩散项来刻画.在文献［5］中讨论了Dirichlet边值条件下带有交错扩散项和HollingⅡ型响应函数的如下Leslie-Gower捕食 -食饵模型.

文献［5］中讨论了系统(4)正解的存在性和多解性，以a为参数考虑了系统从其中一支半平凡解支(0，k2θb/c2)上发生的分歧.该文以b为参数给出了系统(4)从另一支半平凡解(θa，0)上发生的分歧.

对于任意的q∈C()，特征值问题

的主特征值我们记为λ1(q)，对应的特征向量记为φ1(x)，并且记λ1(0)=λ1，φ1(0)=φ1.

引理［6］考虑如下logistic方程

其中l是正常数，Ω⊂RN是边界光滑的有界开集.

(i)如果l≤λ1，那么系统(5)没有非平凡解.

(ii)如果l＞λ1，那么系统(5)存在唯一的正解θl(x)，并且0＜θl(x)＜l，x∈ Ω.

1 主要结果

记θa和θb分别为l=a和l=b时系统(5)的唯一正解，那么系统(4)存在平凡解(0，0)，当a＞λ1时，存在半平凡解(θa，0);当b＞λ1时，存在半平凡解(0，k2θb/c2).这里我们讨论从半平凡解支(θa，0)上发生的分歧.

定理1 设a＞λ1，那么λ1是系统(4)从半平凡解曲线Γ0={(b，θa，0):b＞0}上出发的分歧值.进一步地，在(，θa，0)点附近，系统(4)的所有正解都在光滑曲线Γ1={(b(s)，u(s)，v(s)):s∈(0，δ)}上，使得对于某个δ＞0满足

其中φ1=(-Δ+2θa-a)-1［(-αθab-)是从(0，δ)到R×X×X上的光滑函数，b1(0)=0，u1(0，x)= ν1(0，x)=0，并且

通过直接计算可得

当(u，ν)=(θa，0)时，分歧发生的一个必要条件是F(u，ν)(b，θa，0)［ξ，η］ = μ［ξ，η］的主特征值等于0，即

这只有当b==λ1时满足，因此，分歧点为(b，u，ν)=(，θa，0)又由于 λ1(2θa-a)＞λ1(θa-a)=0，所以(-Δ+2θa-a)-1可逆，定义那么 核 空 间=span{(φ1，φ1)}且 dimN(=1.

假设对任意的(f，g)∈Y×Y，存在(ξ1，η1)∈X×X，使得

用(7)的第二式乘以φ1减去(6)的第二式乘以η1再在Ω上积分得∫Ωgφ1dx=0，因此θa，0)的像空间为

其中l是Y×Y上的线性泛函，定义

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