非扩张映射的公共最佳逼近点问题

隋林林，肖 松

(哈尔滨师范大学)

1 引言及预备知识

最佳逼近点理论的研究源于对不动点理论的研究.1969 年，Ky Fan［1］在 Tvchonoff［6］不动点定理的基础上，提出了经典的最佳逼近点定理.

定理1.1［1］设X是赋范线性空间E中的非空紧凸子集，映射T:X→E是连续映射.则存在y0∈X，使得

对于非线性规划问题

不一定能找到最优解x.使得d(x，Tx)的误差达到全局最小值.

事实上，若A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，对于任意的x∈A，Tx∈B，一定有d(x，Tx)≥d(A，B).如果存在x*满足条件d(x*，Tx*)=d(A，B)，则x*是这个非线性规划问题的解.因此，x*是最佳逼近点.

定义1.1 设A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，设映射T:A→B，若存在x*∈A，使得d(x*，Tx*)=d(A，B)，则称x*为T的最佳逼近点.

在不动点理论的研究中，具有压缩条件的映射的不动点定理一直扮演着很重要的角色.它最初起源于1922年Banach提出的压缩影像原理.他指出完备度量空间中每个压缩映射都有唯一不动点.之后，一些学者对Banach压缩映射原理进行了推广.其中，在2003年，Kirk［2］等人提出了以下结论.

定理1.2［2］设A，B是完备度量空间X中的非空子集，映射T:A∪B→A∪B满足T(A)⊆B，T(B)⊆A.若对任意的x∈A，y∈B，α∈(0，1)，有

则A∩B≠∅，T在A∩B中有唯一不动点.

上述结论中，当α=1时，压缩映射变为非扩张映射.

定义1.2 设(X，d)是距离空间，映射T:X→X.若对任意的x，y∈X，有d(Tx，Ty)≤d(x，y)，则称T是X上的非扩张映射.

2005 年，Eldred，Kirk和Veeramani［3］推广了Milman和Brodskii［4］所提出的正规结构，给出了逼近正规结构的概念.

定义1.3［3］设在Banach空间中的凸集对(K1，K2)具有逼近正规结构是指:对任意的有界闭凸逼近对(H1，H2)⊆ (K1，K2)，若d(H1，H2)=d(K1，K2)，并且δ(H1，H2)＞d(K1，K2)，则一定存在(x1，x2)∈H1×H2，使得

δ(x1，H2)＜δ(H1，H2)，δ(x2，H1)＜δ(H1，H2)

定理1.3［3］设(A，B)是 Banach 空间中的非空弱紧凸对，(A，B)具有逼近正规结构.若映射T:A∪B→A∪B满足下列条件:

则存在(x，y)∈A×B，使得

2009 年，A.Thagafi和 Shahzad［5］引进了一种新的压缩映射，叫做循环φ-压缩映射.并给出了循环φ-压缩映射的最佳逼近点定理.

定义1.4［5］设A，B是度量空间X中的非空子集，映射T:A∪B→A∪B满足T(A)⊆B，T(B)⊆A.若存在严格增的函数φ:［0，+∞)→［0，+∞)使得

则称T是循环φ-压缩映射.

定理1.4［5］设A，B是一致凸的Banach空间X中的非空子集，A是闭凸集，T:A∪B→A∪B是循环φ-压缩映射.若对于x0∈A，定义xn+1=Txn，n=0，1，2，…，则存在x∈A，使得x2n→x，T2x=x，并且d(x，Tx)=d(A，B).

2011年，Sankar［7］在P-性质的条件下证明出对于一个弱压缩映射存在最佳逼近点.2012 年，Abkar和 Gabeleh［8］基于 Sankar的理论，证明了在一个非扩张映射下的最佳逼近点问题.

上述所研究的是一个映射的最佳逼近点问题，下面考虑，是否存在两个映射的公共最佳逼近点.设A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，S:A→B和T:A→B为非自身映射，那么方程Sx=x和Tx=x不一定有公共解，即映射S和T不一定存在公共不动点.因此，在公共解不存在的情况下，将尝试找到一个x，使得在某种条件下，d(Sx，x)与d(Tx，x)的误差同时达到全局最小值.对于两个非自身映射来说，考虑公共最佳逼近点问题.

定义 1.5［9］设A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，映射S:A→B和T:A→B为非自身映射.若对∀x∈A满足d(x，Sx)=d(x，Tx)=d(A，B)，则称x是映射S和T的公共最佳逼近点.

显然，若映射为自身映射，则公共最佳逼近点为公共不动点.

2012年，Basha［9］在度量空间中通过给出交换逼近和能被逼近地交换的定义，且存在非负实数 α＜1，有d(Sx1，Sx2)≤ αd(Tx1，Tx2)，∀x1，x2∈A的情况下，证明出了公共最佳逼近点的存在.同年，Gabeleh［11］在集合具有P-性质的条件下，将Basha论文中的“能被逼近地交换和逼近紧”的条件弱化，进而证明出存在公共最佳逼近点.

下面给出该文所涉及的相关定义及结论.

设A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，定义:

定义1.6 设A是线性空间X中的非空子集.若存在点p∈A，使得对任意的x∈A，α∈［0，1］，有

则称集合A为星形集.点p为A的中心.

定义1.7［10］设A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，若对任意的x，u，v∈A，映射S:A→B和T:A→B满足以下条件:

则称S，T为交换逼近的.

定义1.8［10］设A，B是度量空间(X，d)中的非空子集，若对任意的u，ν∈A，y∈B，映射S:A→B和T:A→B满足以下条件:

则称S，T能被逼近地交换.

定义 1.9［7］设(A，B)是度量空间(X，d)中非空子集对，其中A0非空，对于x1，x2∈A0，y1，y2∈B0，有

则称非空闭子集对(A，B)具有p-性质.

显然，对于X中任意非空子集A，(A，A)有p-性质.

定义1.10［12］设A，B为赋范线性空间中的非空凸子集，若对任意的x，y∈A或者x，y∈B，存在λ∈(0，1)，有

则称映射T:A→B为仿射映射.

定理1.5［13］设A，B是Banach空间中分别以p，q为中心的星形集，‖p-q‖=d(A，B).则A0，B0分别是以p，q为中心的星形集.

定理1.6［10］设A，B是完备度量空间X中的非空闭子集.A关于B是逼近紧集.若A0，B0非空，且非自身映射S:A→B和T:A→B满足以下条件:

(a)存在非负的实数α＜1，有d(Sx1，Sx2)≤ αd(Tx1，Tx2)，∀x1，x2∈A.

(b)映射T是连续的.

(c)S，T是逼近交换映射.

(d)S，T能被逼近地交换.

(e)S(A0)⊆B0，S(A0)⊆T(A0).则存在一个元素x∈A，使得

进而，若x*是映射S，T的另一个公共最佳逼近点，则有d(x，x*)≤2d(A，B).

定理1.7［11］设(A，B)是完备度量空间X中的非空闭子集对.假设A0为非空集，非空闭子集对(A，B)具有P-性质，且非自身映射S:A→B和T:A→B满足以下条件.

(a)存在非负的实数α＜1，有d(Sx1，Sx2)≤ αd(Tx1，Tx2)，∀x1，x2∈A.

(b)映射S，T是连续的.

(c)S，T是逼近交换映射.

(d)S(A0)⊆B0，S(A0)⊆T(A0).则映射S，T存在公共最佳逼近点.

该文主要在上述定理的基础上，考虑紧的星形集上当“α=1”的情况下，公共最佳逼近点的存在性问题.

2 主要结论

定理2.1 设A，B是Banach空间X中分别以p，q为中心的星形集，‖p-q‖ =dist(A，B).映射S:A→B和T:A→B是非自身映射，若(A，B)具有P-性质，A是紧集，且满足以下条件:

(a)d(Sx1，Sx2)≤d(Tx1，Tx2)，∀x1，x2∈A.

(b)映射S，T是连续的.

(c)S，T是逼近交换映射.

(d)S(A0)⊆B0，S(A0)⊆T(A0).

(e)T是仿射，Tp=q.则存在元素x∈A，使得

证明 由于A，B是Banach空间中分别以p，q为中心的星形集，‖p-q‖ =dist(A，B).则由定理1.5知，A0，B0是分别以p，q为中心的星形集.

对任意正整数k≥1，作映射Sk:A→B，其中

则有Sk(A0)⊆B0，且对于任意的x，y∈A0，有

事实上，对于 ∀x∈A0，Skx∈Sk(A0)，又S(A0)⊆B0，则有Sx∈B0，由B0是q-星形集，则有

即Sk(A0)⊆B0.

对于 ∀x，y∈A0，‖Skx-Sky‖

由S和T是逼近交换的，则对于任意的u，ν，x∈A，‖u-Sx‖ = ‖ν-Tx‖=d(A，B)，有Sν=Tu.

下面证明，若任意的uk∈A及ν满足:‖ν-Tx‖ = ‖uk-Skx‖=d(A，B)，则有Skv=Tuk成立.

事实上，由

d(A，B).所以有

由P-性质可知

又因为T是仿射的，所以有

这就证明了T与Sk是逼近交换的.

由定理1.7可知，对于每个k≥1，在A中均存在公共最佳逼近点.

即对于每个k≥1，存在唯一的uk∈A0，使得

且 ‖uk-Skuk‖=d(A，B)

又因为 ‖uk-Suk‖ =‖uk-Skuk+Skuk-Suk‖

容易知道，存在正整数m，由于q∈B0，uk∈A0，所以Suk∈B0，由于A具有紧性，所以A0⊂A是有界的，从而B0是有界的，且有

d(A0，B0)=d(A，B)，则有

所以当k→∞时，→0.则‖uk-Suk‖ →d(A，B).

由于A具有紧性，则在A中存在收敛子列{un}，不妨设un→u0∈A，(n→∞).由于S和T是连续的.则有Sun→Su0，Tun→Tu0∈B，(n→∞).从而有

则 ‖u0-Tu0‖=d(A，B)

即存在公共最佳逼近点.且当A0=B0时，公共最佳逼近点变为公共不动点.

3 结束语

该文主要研究了具有P-性质的紧的星形集上两个连续逼近交换仿射映射，当“α=1”的情形下的公共最佳逼近点的存在性问题，推广了已有结论.

［1］ Ky Fan.Extensions of two fixed point theorems of Browder［M］.Math Z，1935，112:234-240.

［2］ Kirk W A，Srinivasan P S，Veeramani P.Fixed points for mappings satifying cyclical contrative conditions［J］.Fixed Point Theor，2003(4):79-89.

［3］ Eldred A A，Kirk W A，Veeramani P.Proximal normal structure and relatively nonexpansive mappings［J］.Studia Math，2005，171(3):283-293.

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［5］ Al-Thagafi M A，Shahzad N.Convergence and existence results for best proximity points［J］.Nonlinear Anal，2009，70(10):3665-3671.

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