积分不等式证明的再认识

葛亚平

（南通理工学院基础课教学部，江苏南通 226002）

积分不等式证明的再认识

葛亚平

（南通理工学院基础课教学部，江苏南通 226002）

根据积分不等式的特点，运用微分学和积分学的理论知识对积分不等式的证明进行了分析，简化了积分不等式的证明过程.

微积分；积分不等式；不等式

积分不等式的证明是积分学部分的重要内容之一，联系两个及以上的定积分不等式称为积分不等式.关于积分不等式有不少著名的结果，如Cauchy不等式、Schwarz不等式等.积分不等式的证明方法灵活多变，没有固定模式.

1 利用微分学的方法证明积分不等式

1.1 应用微分中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，因此被称为微分中值定理.微分中值定理在积分理论中也有非常重要的作用.我们可以根据被积函数的特点合理应用微分中值定理证明积分不等式.

1.2 应用泰勒公式证明积分不等式

泰勒中值定理回答了如何用多项式pn（x）近似表达f（x），以及它们的误差问题.若在泰勒公式中取x0= 0，就得到了一种较简单的形式，称为麦克劳林公式.在积分不等式的证明过程中合理应用泰勒公式、麦克劳林公式，也可以简化证明过程.

2 应用积分学的方法证明积分不等式

2.3 应用定积分的求解方法

定积分的求解方法只要有定积分的第一、二类换元积分法，分部积分法.在进行积分不等式的证明时，可将定积分的求解方法和其他数学知识相结合以达到证明的目的.

2.4 利用已知的著名不等式证明积分不等式

关于积分不等式有不少著名的结果，如Cauchy不等式、Schwarz不等式等.在积分不等式的证明过程中可以根据积分函数的特点，适当选用上述不等式，同样能达到简化证明的效果.

这里简单介绍了证明积分不等式的一些思路和方法.当然这些方法不是孤立的而是相互联系的，只要能掌握其本质，灵活应用，笔者相信解决这类问题将不再是困难的事情.

［1］ 同济大学数学系.高等数学［M］.7版.北京：高等教育出版社，2013：106-107.

［2］ 李广修.证明不等式的定积分放缩法［J］.数学通报，2008，47（7）：50-51.

［3］ 刘学才.利用定积分的几何意义证明不等式［J］.高师理科学刊，2013，33（1）：30-33.

［4］ 崔雅莉.定积分与不等式的证明［J］.赤峰学院学报，2011，3（8）：170-171.

Re-understanding of Integral Inequality Proof

GE Ya-ping

（Department of Basics Course，Nantong Polytechnic College，Nantong 226002，China）

The proof process of theory of integral inequality is analyzed by differential and integral theories and know ledge according to the characters of integral inequality.The proof process of integral inequality is simplified.

calculus；integral inequality；inequality

O172.2

A

1007-0834（2015）03-0018-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.03.005

2015-03-08

南通理工学院教研课题“高等数学课程教学的研究与实践”（教研201403）

葛亚平（1981—），女，江苏南通人，南通理工学院基础课教学部讲师.