积分在函数不等式证明中的应用

赵苗婵，欧阳瑞

（周口师范学院数学与统计学院，河南周口 466001）

积分在函数不等式证明中的应用

赵苗婵，欧阳瑞

（周口师范学院数学与统计学院，河南周口 466001）

函数不等式是微积分学中常见的一种不等式，在分析学中有着广泛的应用.列举了不同类型的函数不等式的证明方法，探讨用积分法证明函数不等式的思想和方法.

函数；不等式；积分

1 积分法证明函数不等式的基本方法

函数不等式的证明方法比较复杂，灵活多样，技巧性也很强.用积分法进行函数不等式的证明，主要是通过将函数不等式转化为积分不等式的形式，利用积分的性质进行证明或者利用定积分的定义将区间分割求极限进行证明［1］.

2 函数不等式的积分证法举例

2.1 三角函数不等式的积分证法

分析对于三角函数不等式的积分证法在于选取合适的三角函数不等式，然后通过积分转化为需要证明的函数不等式.

2.2 反三角函数不等式的积分证法

分析对数函数不等式的形式多样，技巧性强.在把握对数的基本性质基础上，要注意函数形式之间的转换.

2.5 幂函数不等式的积分证法

对于多项式函数不等式与含有平方根的函数不等式的积分证法，其积分形式上都类似于幂函数不等式，因此下面用幂函数不等式的积分证法进行介绍.

2.6 一般函数不等式的积分证法

3 函数不等式的积分定义证法

分析本例的分割求和证明思想，主要体现在分割区间的选取上，根据要证明的不等式的形式，进行分割区间的划分.

4 小结

不等式的积分证法多种多样，并不拘泥于这几种.但总的来看，在利用积分的手段进行不等式证明的过程中主要应用的是积分的性质和定义.

［1］ 程海来.函数不等式的积分证明［J］.大学数学，2006，22（4）：127-129.

［2］ 李治飞.积分不等式的证明［J］.赤峰学院学报：自然科学版，2011，27（4）：13-14.

［3］ 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：北京教育出版社，1993：258-261.

Application of Integral Proof on Function Inequality

ZHAO Miao-chan，OUYANG Rui

（School of Mathematics and Statistics，Zhoukou Normal University，Zhoukou 466001，China）

Function inequality，which iswidespread in calculus，has been widely used in the analysis.By showing the proofmethod of different types of function inequality，the idea and method of using integral method to prove function inequality are discussed.

function；inequality；integral proving

O13

A

1007-0834（2015）03-0015-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.03.004

2015-04-17

赵苗婵（1979—），女，河南郑州人，周口师范学院数学与统计学院讲师.