在游戏中学习“数学建模”

马贞

所谓“数学建模”，即把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。“公倍数和最小公倍数”的数学模型该如何构建呢？全国第十一届小学数学教学观摩活动上广东省的骆奇老师执教了“公倍数和最小公倍数”，他用自己的课堂很好地诠释了这一过程，通过探索“尾巴重新接回的秘密”，把一堂数学课上得风生水起，现结合其中的教学片段与各位共赏。

【教学片段一】

师：今天，老师给大家带来了一个很好玩的游戏，想玩吗？请看，这是一个正六边形。这个呢？也可以说是一个正四边形。两张图片拼起来是一只可爱的小猴！接下来我们就用这两张图片来玩一个游戏。我把正六边形固定不动，让正四边形绕正六边形按同一个方向转动，我们发现，当正四边形开始转动的时候，猴子的尾巴——（断开了！）

师：我想请大家猜一猜，从这个时候算起，转动几次，猴子的尾巴又能重新接回？到底几次？怎样才能知道？行，我来转，你们大声数！（教师转动图片，学生数。）到第6次，暂停转动，接回了吗？继续转！学生继续数，到第12次时，尾巴重新接回。如果继续转，到第几次尾巴还能重新接回？（24次！）再继续？（36次！）如果继续写下去，还能写多少个？这个游戏叫“尾巴重新接回”。

【赏析】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考。”游戏是数学课堂上常用的情境，但骆老师设计的这个情境不一样，它不是游戏与数学的简单叠加，三言两语就直奔数学中心，让学生有一种“上当受骗”的感觉。“尾巴重新接回”与“公倍数和最小公倍数”有什么关系？不用说学生，就是后面听课的教师也是一愣。这种悬念激发了学生强烈的探究欲望，真正达到了“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”的效果。

史宁中教授说：新一轮课程改革其实是“过程中的教育”。“转动几次，猴子的尾巴又能重新接回？”这是一个基于现实的真问题，学生兴趣盎然，纷纷进行大胆猜测，6次、12次、18次、24次不等。到底对不对呢？转一下嘛！学生的眼睛紧紧盯着黑板，生怕错过了每一次的转动。6次，尾巴没有接回，学生很愕然。12次，终于对了！这样的情境源于学生的认知基础而又略高于认知，答案感觉简单其实不简单，结果好像是其实不是，学生的探究欲望一旦被撩拨起来，真是欲罢不能。

【教学片段二】

师：如果再玩一次这个游戏，你们有没有信心？请看屏幕，动物变了，更重要的是——图形也变了，几边形和几边形？（8边形和5边形）转动几次，尾巴又能重新接回？请看屏幕，我来转，你们数，教师通过课件来转动尾巴。谁猜对了？掌声送给刚才猜对的同学！

师：这么好玩的游戏，你们想不想自己玩一玩？好，听清楚老师的要求。待会儿老师会给你们一些这样的图片（出示5边形+4边形、8边形+4边形的图片），你们以小组为单位，也像刚才那样，先猜，再转，最后将数据填在表格里，（出示表格）能看懂吗？好，下面请同学们分小组来合作玩这个游戏。

【赏析】

借助几何直观可以把复杂的数学问题简明化、形象化，有助于探索解决问题的思路，预测结果。第一次玩这个游戏，学生大都处于一种懵懂的兴奋状态，关注的是游戏本身“好玩”，第二次玩这个游戏，教师提出明确的观察要求：“什么变了？更重要的是什么变了？”看似随意一问，实质是教者的深思熟虑。不经意间把学生的注意力从游戏情境引向数学思考：从多边形边数看，第一次6和4不互质，第二次8和5互质;从接回次数看，第一次数目比较小，第二次比较大;从操作形式看，第一次手动示范，第二次课件演示。

这么好玩的游戏学生早就按捺不住了！前苏联教育家阿莫纳什维利指出：“儿童单靠动脑，只能理解和掌握知识，如果加上动手，他会明白知识的实际意义。”前两次游戏学生获得的是间接的经验，但这种间接经验又是必需的，它直接引导着学生接下来的猜想与实验。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”学生一边操作、一边记录、一边比较和思考，在潜意识中有一种直觉，这个游戏不简单，可能背后隐含着什么规律。两组多边形的边数也是有意为之，一组互质，另一组呈倍数关系，有利于学生从不同情况的接回次数中去归纳和发现。

【教学片段三】

师：刚才，我们总共玩了三次尾巴重新接回的游戏，第一次，猜对的人不多。第二次，猜对的人多了起来。到第三次你们自己玩的时候，我发现很多同学一下子就猜对了。咦！你们是不是有什么发现？这些重新接回的次数与什么有关？又是怎样的关系呢？先请大家在小组内说一说，然后请小组代表汇报。

生1：我们小组发现，两个图形边数相乘就能得到尾巴重新接回的次数。

师：你能举个例子吗？

生1：比如说4乘 6等于24，24就是重新接回次数中的一个。5乘8等于40，40也是重新接回次数中的一个。同样，四八三十二、四五二十都出现在重新接回的次数中。

师：这是他们组的发现，其他同学对他们的发现有什么评价？

生2：他们的发现是对的，但不全，而且不一定是第一个，比如四六二十四就是第二次重新接回的数。

师：虽然两个图形的边数乘起来能够得到一些重新接回的数，但还有一些，它们并不是边数的乘积，也重新接回了。

生3：我们小组发现重新接回的次数既是图1（左边图形）边数的倍数，又是图2（右边图形）边数的倍数。

师：你能不能结合黑板上的数据来说明？

生3：比如说12、24、36，都是重新接回的次数， 12既是6的倍数又是4的倍数，24是6的倍数，也是4的倍数，36也是6的倍数和4的倍数。

师：其他组呢？

生3：也是一样的，40是8的倍数也是5的倍数，80是8的倍数也是5的倍数，120是8的倍数也是5的倍数。

师：这是他们小组的发现，你们有什么看法？（没有学生举手）那好！我们鼓掌通过！

【赏析】

“尾巴重新接回的奥秘是什么呢？”这是一个基于现实情境的“真”问题，回顾三次玩游戏的过程，猜对的人数从不多到逐步多了起来，再到很多学生一下子就猜对了，朦朦胧胧中学生觉得这里面有奥妙，有规律。这个规律是什么呢？课堂上对学生的信任就是给学生以力量。教师智慧的“退”造就了学生勇敢的“进”，学生的思维始终处于一种心欲求而不得，口欲言而不能的“愤”“悱”状态。

学习无非是每一个儿童内部建构的个性化的、个别化的“意义的经验”。在积累丰富活动经验的基础上，学生有一种表达的冲动，迫切需要把自己的发现与教师和同伴分享。相同的游戏活动，不同的学生获得的经验未必相同，在这种个性化的表述中，学生呈现的是一种“原生态”的思维，尽管粗糙，但彰显了自己“朴素”的思想。对话中学生之间的“交锋”很激烈，不断地发现问题、提出问题，“发现”在争论中取得共识。课堂呈现的是一种深度参与和有过程的思考。

【教学片段四】

师：通过刚才的讨论和汇报，我们发现，原来尾巴重新接回的奥秘就是两个正多边形边数的公倍数，第一次接回就是它们的最小公倍数！ 如果现在还让你们玩这个游戏，有把握吗？比如说正8边形和正6边形（如下图），要知道正6边形至少转动几次尾巴重新接回，其实就是求8和6的？（最小公倍数。）

生：最小公倍数！（24）

师：这么快！能不能把你们的想法写下来？

生4：我先找出6的倍数和8的倍数，再找它们共同的倍数。

师：哦，他是先写出6的倍数，再写出8的倍数，再找出它们共同的倍数。刚才老师在下面看的时候，发现还有一种很特别的做法，你们能不能看懂？（屏幕演示）

生5：6不是8的倍数，12也不是8的倍数，18也不是8的倍数，24既是6的倍数也是8的倍数。

师：他的做法其实就是先依次将6的倍数写下来，看看它是不是同时也是8的倍数。能听明白吗？

生：能。

师：你还有什么想说的？

生6：这种做法是找6的倍数来比较，看是不是8的倍数。我觉得因为我们要找的是8和6的公倍数，因为8大一些，我们可以用8来试，这样试的次数少一些。

【赏析】

对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学建构的过程。新课上到此处，大家才恍然大悟，原来尾巴重新接回的奥秘就是求两个正多边形边数的公倍数。在这里，情境、问题与概念有机融合在一起，只要提到公倍数，学生头脑中马上就会出现“尾巴重新接回”的情境，学生获得的是一种程序性知识，是关于最小公倍数的“数学模型”。

西方科学教育思想的倡导者斯宾塞曾经说过：“教学要从直观开始，以抽象结束。”当学生积累了丰富的活动经验，思维发展到一定的层次，这时就要进行必要的抽象，进行“数学化”。回顾本节课，“数学化”的过程其实就是“建模”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。有了“模型”意识，当学生再遇到“尾巴重新接回”时便很快知道了该怎么做。站在“终点”回望探究之旅，学生对公倍数的认识更深入了，由此而产生的兴趣，必将深刻而持久地影响着他们今后的数学学习。

（江苏省海安县明道小学   226600）