初中数学运用化归思想解题初探

朱卫星

摘 要： 中学数学知识中蕴含着许多思想方法，就解决问题而言，化归思想是解决问题的基本思想方法.利用已有知识经验，化生为熟；应用思维策略，化繁为简；运用逆向思维，化正为反；借助数学图形工具，化抽象为具体.通过化归思想，提高学生综合应用数学思想的意识与能力.

关键词： 化归思想 解题能力 初中数学教学

在中学，就解决问题而言，化归方法是解决问题的基本思想方法.所谓化归，就是把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，借此获得原问题解决的一种思想方法.在初中生的数学知识体系中，贮藏了一定量的数学公理、性质、定理等基础知识，通过化归方法，把所要解决的问题转化为学生比较熟悉、比较容易的问题，方便求解.化归的基本模式：

以下是我结合教学过程中的体会，对初中数学运用化归思想解题的初探.

一、利用已有知识经验，化生为熟

学习是一个在已有知识经验体系基础上不断积累的过程，后续新知识的学习与解决问题的策略方法，都离不开学生原有的知识体系和数学素养.化归之“化”，即是将面临的新问题“转化”为比较熟悉的问题，在陌生中努力寻找熟悉的因素，以便将问题向着我们熟悉的方向转化，努力寻找与问题比较接近而又是相对熟悉的问题，化生为熟，运用已知结论或已有解题经验，使问题得到解决.

例1：苏科版九年级上册中，证明圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

分析：经过操作与思考，学生认识到一条弧所对的圆周角有无数个，这些圆周角对于圆心的位置有3种.如图，①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.对于第一种情形，①圆心在圆周角的一边上，利用等边对等角、外角性质，学生能证明其余两种情形.引导学生自主探索，通过添加辅助线，转化成第一种情形来证，从而总结出一般规律，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

解：如图1，①当圆心在圆周角的一边上

设∠A=x

∵OA=OB

∴∠OBA=∠OAB=x

∵∠BOC是∠OBA的外角

∴∠BOC=∠OBA+∠OAB=2x

∴∠BAC=∠BOC

如图2，②当圆心在圆周角的内部：

作直径AD，转化成①的情形，圆周角∠BAC=∠BAD+∠CAD；

③当圆心在圆周角的外部：

作直径AD，转化成①的情形，圆周角∠BAC=∠BAD-∠CAD.

上述例题中，在学生已解决问题①：当圆心在圆周角的一边上的前提下，采用迂回的手段将要解决的问题②：圆心在圆周角的内部；③：圆心在圆周角的外部，通过添设辅助线，作直径AD，变换成熟悉的第一种情形，使问题得以解决.

二、应用思维策略，化繁为简

当所遇问题结构比较复杂，对于一般学生来讲很难直接求解时，我们通常可思考尽可能将问题转化为比较简单的易于确定解题方向的问题，从而使新问题得到解决.

∴原方程的解为：-2和1.

通过恰当换元，对问题做形式上的转换，这样就容易揭示出问题的内在联系，化繁为简，化难为易，使问题轻松获解，有利于后进生树立学习信心.

三、运用逆向思维，化正为反

我们在解决问题时，一般从分析题目中的已知条件入手，层层推理，得出所需要求证的结论，有时我们也可以运用逆向思维，化正为反，从与常规思维相反的方向认识问题，从对立的角度思考问题，寻求解题途径，提高学生分析思维能力和解决复杂问题的能力.

例3：判断命题“在一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角”的真假.

分析：假设三角形中锐角的个数少于2个，那么三角形中就会出现两个或两个以上的角是钝角或直角，两个钝角或两个直角的和加上第三个角的度数一定大于180°，这就违背了三角形内角和是180°的性质，所以一个三角形至少有2个锐角，最多有1个钝角，从而得出原命题是假命题.

例4：二次函数y=x+bx+c的图像向左平移三个单位，再向上平移2个单位，得二次函数y=x-2x+1的图像，求b、c的值.

分析：将二次函数y=x-2x+1的图像沿着反方向平移，即向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到二次函数y=x+bx+c的图像，就能轻松求出b、c的值.

我们在解决一些问题时，可以运用逆向思维，从问题的对立面入手，化正为反，易于问题的解决.

四、借助数学图形工具，化抽象为具体

数学学科具有高度的抽象性，为了便于理解问题，平时引导学生根据题意，把涉及的各个数量及数量之间的关系用图形表示出来，化抽象为具体，增强直观性，有利于问题的求解.

例5：如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；

（3）根据（2）中的规律和结论，请求出代数式的最小值.

分析：在解决问题（3）时，我们可以模仿图1，并由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，如图2，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值.借助数学图形工具，把求形如的代数式的最小值，化为直角三角形，利用勾股定理求解.把“数”的问题，通过“形”使之直观化，使原问题易于获得解决.

在列方程解决应用题中，我们常常通过画线段或画图表等方法，将问题直观化，这样就容易理解问题中相关数量之间的关系.

例6：某种商品以8元购进，若按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.

（1）当售价提高多少元时，每天利润为700元？

（2）设售价为x元，利润为y元，请你探究售价为多少元时，利润最大，最大利润是多少？分析：设应涨价x元，每天利润为700元.

在此销售问题中，涉及涨价前、后的进价、售价、利润和销售量，数量较多，引导学生用画图表的方法，把这些相关的数量列出来，增强直观性，方便学生表达涨价后销售量的代数式，有利于本题的解决.

化归思想是数学学习中的一种重要思想，是数学解题中普遍使用的方法，平时在教学中引导学生充分审题，仔细观察，挖掘题意中隐藏的化归思想方法，充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法，有利于问题的解决，不断总结应用化归方法解决问题的规律，提高学生综合应用数学思想的意识与能力.

参考文献：

[1]孙高传.浅谈运用化归思想解题的策略.

[2]曹晓梅.如何在初中数学解题中运用化归思想.