空间向量在立体几何中的应用

洪建新

摘 要： 高中数学新教材增添了“空间向量”这一节知识，它是平面向量的延续和推广，为我们提供解立体几何问题的工具性知识.由于空间向量本身具有代数形式（有序实数对表示）与几何形式（有向线段表示）的双重特点（数形兼备），因此在向量知识的整个学习过程都体现了数形结合的思想方法，注重转形为数，突出数的运算.

关键词： 立体几何 空间向量 化繁为简

利用空间向量处理立体几何问题的这种处理办法就起到了避开复杂空间想象，将复杂的逻辑推理转化为简单机械的代数运算，克服了辅助线添加所带来的解题难度等作用，大大简化了思维过程，减轻了思维负担.可见，利用向量可以把几何结构代数化，以数明形，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系，成为研究立体几何的重要工具.

本文举例研究如何用向量方法解决立几中的点、线、面的位置关系问题和求角、距离问题.以此归纳总结各种题型的解法，强化“向量”的应用价值，激发学生学习向量的兴趣.

一、做几点准备

1.明确两个重要概念

两条异面直线的方向向量：垂直于两条异面直线所在直线的方向向量的向量.平面的法向量：表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则向量叫做平面的法向量.法向量是一个平画的特征向量，它是处理有关平面的轴心骨.

2.本文的两个定义

本文称在两条异面直线上各取一点（当然取特殊点）构成的向量以为两条异面直线的斜向量.平面的斜线段所在直线的方向向量叫做平面的斜向量.本文称用旧教材处理几何问题的传统方法为纯几何法，称用空间向量处理几何问题的方法为纯向量法.

3.利用空间向量处理立体几何问题的两个关键点

（1）利用空间向量处理立体几何问题的关键处在于建立空间直角坐标系，建系应遵循以下两个原则：①寻找墙角模型即三条两两垂直于同一点的直线.②利用直线垂直于面.以这条直线为z轴，以这个面内互相垂直的两条直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系.若有面垂直于面，则通过面垂直于面的性质定理即可得到线垂直于面.合理地建立空间直角坐标系，是完成从几何问题向代数问题转化的基础，也是难点.

（2）建立空间直角坐标系后，如何确定各点的坐标？常采用化立体为平面的策略即先确定竖坐标，然后像平面直角坐标系一样确定横坐标和纵坐标.一般有个别的点比较难求，需要结合平面的基本知识（如平行成比例的性质）确定.

二、典例剖析，方法透视

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=■，AB=1，M是PB的中点.

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1■）.

（Ⅰ）证明：由于■=（0，0，1），■=（0，1，0），故■·■=0，故AP⊥DC.

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：由于■=（1，1，0），■=（0，2，-1），

故|■|=■，|■|=■，■·■=2，

cos<■，■>=■=■.

（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在λ∈R使■=λ■，

■=（1-x，1-y，-z），■=（1，0，-■），∴x=1-λ，y=1，z=■λ

要使AN⊥MC，只需■·■=0，即x-■z=0，解得λ=■.

可知当λ=■时，N点坐标为（■，1，■），能使■·■=0

此时，■=（■，1，■），■=（■，-1，■），有■·■=0.

由■·■=0，■·■=0得AN⊥MC，BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.

∵|■|=■，|BN|=■，■·■=-■.

∴cos（■，■）=■=-■，

故所求的二面角为arcos（-■）.

点评：向量的巧妙之处在于避开作二面角的复杂过程，求点面距离的难点是作出高线，确定垂足，而此法不要求确定垂足的确切位置就可将距离求出，真正做到了避繁就简.

总之，用向量知识求解立体几何问题不仅简洁明了，而且具有一般性.应用向量方法解题构思新颖，方法简单、直观.它可以不依赖于图形特征，把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”的完美结合.