高中数学中的几何概型问题概述

焦义贵

摘    要： 几何概型是高中数学继古典概型之后学习的另一类等可能概型，它对应的是一个连续型变量的均匀分布，几何概型是古典概型的拓广.在高中，几何概型的题目主要分为长度型、面积（体积）型、角度型、会面型，不管解决哪种类型问题，其关键都要选择适当度量，使基本事件转化为与之对应的总度量值，所求问题转化随机事件对应的子度量值，然后代入公式进行计算求解.

关键词： 概率    几何概型    高中数学教学

概率研究随机事件发生的可能性大小问题，通过学习，学生可以了解随机现象与概率的意义，正确区分频率与概率，初步形成用随机的观念观察、分析、研究客观世界.几何概型是高中继古典概型之后学习的另一类等可能概型，是高中新课程实验教材新增加的内容，也是必修课中关于概率的最后一个知识点，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.要求学生能体会几何概型的意义，会解决典型的几何概型问题.几何概型的研究，是古典概型的拓广，两种概型既有区别又有联系，它们的相同点是基本实验结果发生都具有等可能性，并均用比值计算随机事件概率，不同之处是几何概型将古典概型试验结果从有限个拓广到无限个.本文拟对几何概型的定义，计算公式，以及各种题型进行系统梳理.

一、几何概型的有关知识

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2.几何概型的概率公式

P（A）=■;

由于几何概型中随机事件的概率是度量之比，因此我们不难发现下面的结论：

（1）不可能事件概率一定为0，但概率为0的事件不一定为不可能事件.如：向正方形桌面上随机扔一粒芝麻，正好落在中心点的概率为0，但这个事件有可能发生.

（2）必然事件概率一定为1，但概率为1的事件不一定为必然事件.如：向正方形桌面上随机扔一粒芝麻，正好落在除中心点外区域的概率为1，但这个事件有可能不发生.

3.几何概型的特点

（1）无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）为无限多个;

（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

4.几何概型与古典概型的比较

区别：古典概型具有有限性，即试验结果是有限个;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果.

联系：古典概型与几何概型的基本试验结果都具有等可能性.两者均用比例法求随机事件的概率.

二、常见题型

几何概型问题，可以将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点，该区域内每个点被取到的可能性都相等，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某全子区域中的点.主要题型有：长度型、面积（体积）型、角度型、会面问题等，下面分别举例说明.

1.长度型

根据不同的问题类型，长度之比可能体现为线段长度之比、弧长之比、时间长度之比、区间长度之比等.下面举例说明.

例1.某人睡觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解：依题意，此人可能等待的时间0～60分钟，当此人在每小时的50～60分某时刻醒来时，其等待时刻不多于10分钟.

所以，等待的时间不多于10分钟的概率为p=■=■.

例2.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，求劣弧■的长度小于1的概率.

解析：设事件M为“劣弧■的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P（M）=■.

例3.已知集合A{x|-1

解析：由题意得A={x|-1

例4.将长度为3cm的细铁丝任意剪成两段，A表示“较长的一段大于或等于较短一段的2倍”，求事件A的概率.

分析：可以把3cm长的铁丝看做是长为3的线段CD，由于剪法的任意性，分点落在CD上任意一位置均可.当点落在CE或FD上时，事件A发生.

解：P（A）=■=■.

2.面积、体积型

例5.抛阶砖游戏：参与者将手上的“金币”抛落在离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的硬币刚巧落在任何一个阶砖的范围内（不压阶砖相连的线）获胜.当正方形阶砖的边长为5cm，金币直径为2.5cm时，请你计算“金币”落在阶砖范围内的概率.

提示：圆心落在正中间边长为2.5cm的正方形内，游戏获胜.

解：设A=“金币落在阶砖内”，则

P（A）=■=■.

例6.一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞，苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少？

答案：P=■=■.

例7.将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过■的概率.

解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1-x-y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={（x，y）|0

事件“三段的长度都不超过■”所对应的几何区域可表示为A={（x，y）|（x，y）∈Ω，x<■，y<■，1-x-y<■}，此区域面积为■×（■）■=■.

此时事件“三段的长度都不超过■”的概率为P=■=■.

3.角度型

例8.过等腰Rt△ABC的直角顶点C任作射线CD交斜边AB于D，求AD>AC的概率.

解：∵AC=AD，∠A=45°

∴∠ACD=67.5°

∴AD>AC的概率为：

P=■=■.

4.“会面”型

两个对象会面问题属于面积问题，三个对象会面问题属于体积问题.

两个对象相遇问题解题的关键是把两个时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面内的点（x，y），从而把两个一维的时间问题转化为二维的面积问题，用面积比表示两个对象相遇的概率.三个对象相遇问题类似地转化为三维的体积问题求解.

例9.某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

解析：设事件表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的x分，y分，则

|x-y|≤20，0≤x，y≤60，即A=（x，y）|-20≤x-y≤200≤x≤600≤y≤60？摇，以9点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，事件所对应的区域如图中阴影区域所示，所以其概率P（A）=阴影面积/ABCD面积=5/9.

以上是几何概型中最典型的问题，即长度之比类型、面积（体积）之比类型、角度之比类型、会面问题类型，不管解决哪种类型问题，其关键都要选择适当度量，使基本事件转化为与之对应的总度量值，所求问题转化随机事件对应的子度量值，然后代入公式进行计算求解.特别要注意分析清楚，试验的基本事件应该属于与长度、面积（体积）还是角度，这样才能寻到正确的解题方向，避免出现错误.