“结果相差0.5”，问题出在哪里？

夏映雪 严育洪

“望”：病例观察

在一节“钉子板上的多边形”课上，教师发给每人一个钉子板作学具。一位学生在钉子板上围出了这样一个多边形（如图1）。

多边形边上的钉子数是9，多边形内的钉子数是18，代入皮克公式计算得到：9÷2+18-1=21.5。

而用长和宽分别是8、7的长方形面积减去三个外面的三角形的面积和，求得的实际面积是：8×7=56，8×6÷2+3×7÷2+0.5=35，56-35=21。

结果发生矛盾，相差0.5。上课教师看不出问题出在哪里，只能尴尬地不了了之。

无独有偶，又有一位学生找到了这样一个反例（如图2）：用皮克公式算得面积是5，而用数格法数得的实际面积是4.5。

对此，教师作了这样的解释：“这是凹多边形，不适用这个规律。”

过了一会，有一位学生举着自己的作业纸（如图3），打断教师接下来组织的教学活动：“老师，您看这个凹多边形是符合规律的。”

教师一看，果然如此，无言以对，只好说：“凹多边形不属于我们要研究的，我们研究的是像这样的凸多边形。”教师顺手把这位学生画的凹多边形改成了凸多边形（如图4）。

在这节课接近尾声时，教师出示多边形（如图5），让学生用皮克定理计算面积后总结：“用皮克定理计算钉子板上的多边形，比较方便。”这时，笔者听到旁边一位学生小声嘀咕：“数方格也很方便。”

要下课了，教师问学生是否有什么问题。有一位学生提出：“当a=1，S=n÷2；当a=2，S=n÷2+1；当a=3，S=n÷2+2……为什么多边形内钉子数多1，多边形的面积也会多1？”教师没料到学生会问这个问题，愣了一会答道：“这个，不是大家发现的规律么？！”

……

“问”：病历记录

课后，上课教师对“结果相差0.5”始终感到不解：“这个0.5相差在哪里呢？”

其他教师也看不出所以然来，有的教师说：“是不是哪里少算了啊？”

有的教师说：“换一种方法，用数格法数数看。”最终发现很难数出精确的结果。

还有的教师说：“是不是这个钉子板做得有问题，质量不过关，不精细？”……

在一筹莫展中，笔者问了上课教师另外一个问题：“图5的目的是什么？”

她胸有成竹地答道：“一是让学生用一用规律，二是让学生体会到皮克公式的优越性。”

当笔者把学生的嘀咕“数方格也很方便”告诉她时，她想一想后说：“嗯，是感觉数方格也很方便，那为何还要搞一个皮克公式呢？”

笔者最后又问了一个问题：“多边形内钉子数多1，多边形的面积也会多1，两个‘1’意义相同吗？”

她答道：“当然不同，前一个‘1’表示一个钉子，后一个‘1’表示一个面积单位。”

“那为什么多边形内钉子数多1，多边形的面积也会多1，你用‘这个，不是大家发现的规律么’来回答合适么？”笔者追问。

“是啊，它只是数字比出来的，我也看不出来后一个‘1’多在哪里。”她深有同感。

……

“切”：病理诊治

在2015年第5期《教学月刊·小学版（数学）》中已经说过，“钉子板上的多边形”是苏教版教材修订后新放入的规律探索类教学内容，加上它找的规律属于事物本身存在的规律，有别于一些“人造”的“找规律”，更能引起学生的探究兴趣，当然也引起了许多教师研究课的兴趣。在一个学期中，听了几节这样的课，产生了众多如上述课例中的生成性问题，让教师不知所措。盘根究底，教师“不知所措”的背后是“不知所以”，“不知所以”的背后则暴露了教师对相关本体性知识的匮乏。所以，要让教学服人，首先要知识寻根。

一是找到知识之源，解决学生关于“是什么”的困惑。在2015年第5期《教学月刊·小学版（数学）》中，我们已经知道“钉子板上的多边形”的知识之源是“格点图上的多边形”，知道了这一知识原型，图1中的“0.5之谜”也就昭然若揭：只需要把钉子板上围的多边形画到点子图上（如图6），“相差的0.5” 一下子“原形毕露”——中间红圈内的点并不在多边形边上，多边形边上的钉子数是8而不是9。之所以会产生“一点之差”，就因为在钉子板上用皮筋或毛线围多边形的不精确（围在钉子旁而非压在钉子上）误导了学生。

那么，在教学中，“学科的数学”与“科学的数学”如何做到两全其美，既能照顾到学生兴趣又能照顾到知识本质？有一种解决策略是注意研究背景的及时转换：一是在课始，教师在将用钉子板围多边形引入后，及时把“钉子板”转换成“点子图”；二是在课终，教师介绍皮克定理的时候，及时把“点子图”转换成“格点图”。

图1的问题解决了，图2的问题——“这是凹多边形，不适用这个规律”，事实真的如那位教师所说的吗？盘根究底，这一问题依然是关于“是什么”的问题。

本课教学确实如教师所说不研究凹多边形，所以教师在提供研究素材时应选择凸多边形。但是，在教师让学生自主研究的过程中，学生思想并不会受教师意志而转移，完全有可能画出凹多边形，甚至画出像图2这样的“凹多边形”。

根据凹多边形的定义“把一个各边不自交的多边形任意一边向两方无限延长成为一直线，如果多边形的其他各边不在此直线的同旁，那么这个多边形就叫作凹多边形”中的“各边不自交”这一要求，不难看出，图2并非我们所研究的凹多边形，我们一般把它看作是组合图形。

根据北京大学出版社出版的亨斯贝尔格所著《数学中的智巧》一书中对皮克公式的表述——“设Y是一个简单多边形（即不自交的多边形，又称佐敦多边形，因为佐敦曲线定理可以用来证明这样的多边形能将平面分成两个区域，即区内和区外），其顶点均在格点上。若q为多边形Y内的格点数，p为多边形Y边上的格点数，则Y的面积=q+-1”。我们不难发现，皮克公式适用于简单多边形（按凹凸性区分，简单多边形分凸多边形和凹多边形），那也就是它不仅适用于凸多边形，也适用于像图3那样的凹多边形。

二是找到知识之理，解决学生关于“为什么”的困惑。上述课例中，学生的质疑“为什么多边形内钉子数多1，多边形的面积也会多1”，涉及知识“为什么是这样”的问题，只不过教师没有意识到，或者意识到但因为也不知道，或者知道但考虑到无法跟小学生讲清楚而故意回避。然而，现在学生提出了，教师也就回避不了这一关键性问题。实际上，这个问题是许多学生都能想到的，只是没有机会或没有勇气提出来罢了，因为每一个知识的学习都会围绕“是什么”“为什么”“有什么用”这三大问题，所以教师在备课的时候应该想到这一问题。

尽管这节课的教学要求只需要引导学生运用不完全归纳法“找”规律，充分经历“找”的过程，但因为“找”到的规律更多的是基于现象“看”到的数字变化——“多边形内钉子数多1，多边形也就多1个面积单位”，至于“为什么会这样”，学生没能“看”到，心存困惑也很自然。

那么，限于学生的学习水平，在还无法证明给学生“看”的情况下，特别在有学生质疑的时候，教师可以做些什么？

笔者认为，教师可以在知识的关键处进行启发，一方面通过多媒体的动态同步演示（如图7），进行适当的孕伏与渗透，让学生“看”到随着多边形内钉子数多1之后，多边形多的1个面积单位在哪里，从而明白其中的奥秘，消除心头的疑惑；另一方面，教师正好通过这一教学细节的变化设计，润物细无声地由“a=1”这一教学环节过渡到“a=2、a=3……”等教学环节。

三是找到知识之用，解决学生关于“为了什么”的困惑。上述课例中，教师让学生用皮克定理计算钉子板上的多边形面积后的总结，其用意是想揭示皮克公式的优越性，体现知识的“有什么用”。在与学生交谈中发现，学生普遍存在知识学习之后的困惑：以前已经学过一般平面图形的常用面积公式，也掌握了割补法、数格法，为何还要学皮克公式？

确实，虽然本节课的定位是“找”规律，但找到规律后学生自然会想到“用”规律，即皮克公式有什么用？上述课例中，教师想到了这一点，但没有讲到点子上，学生的嘀咕“数方格也很方便”说明教师所用例子并不典型，我们应该呈现一个用常用面积公式计算且用数格法都显得困难的格点多边形（如图8），让学生真正体会到皮克公式的“有用”。

当然，皮克定理作为格点几何中的一条基本定理，更大的用途是用来证明以及解决用格点法处理的某些数学命题与数学问题，这些学生以后自会明白。

皮克定理给出了格点多边形的面积与格点数之间的精密公式（即皮克公式），由它可直接用于计算多边形的面积。其实，皮克公式与数格法之间以及与一般平面图形常用面积公式之间的联系也是“紧密”的：如果让格点之间的间隔越来越小，也就是使离散的格点连续化，也就是面积单位越来越小，也就是“微分”，则利用皮克公式就可以求出一般平面图形的面积。

在众多研究课中，教师存在这样的困惑：学生只盯着多边形边上的钉子数，不看多边形内的钉子数。其实，这种学情很正常，因为学生熟记的一般平面图形面积公式中的要素都是边长，例如，长方形面积=长×宽、平行四边形面积=底×高。教学对策是回到知识的原点——“面积”——把多边形涂色，这样学生就可以清楚地“看”到格点多边形内一个个面积单位（格子），而一个个“格子”与多边形内的钉子数有关。

至此，学生明白了皮克定理的知识应用之后，还可能会继续另一个困惑：皮克定理在生活中有什么用？对此，教师可以跟学生讲这样的事例，作为课外阅读——

数年前，国外某次数学会议的主办者，为了增添地方特色，特地邀请了当地的一位林业官员，向与会者介绍一系列有关数学应用在森林工业中的突出例子。其中有一个例子，就是关于如何用森林巡航车从树木的位置确定的地域范围来计算含在其中的多边形的面积。其具体方法是用一张画有由树木构成点阵的透明薄膜覆盖在多边形地域图上，再根据多边形边界上点数的一半加上多边形内部的点数，从而得出多边形的面积。

讲完这个故事，教师可以让学生思考这样一个数学问题：这位林业官员的计算方法会存在误差吗？为什么？

综上所述，虽然“钉子板上的多边形”的教学内容只需要“找规律”，教学形式也比较有趣，但深处隐藏的“钉子”很多，时不时在课中冒出。此处借用毛泽东说过的一句话——“碰了钉子时，就向钉子学习”，引申为教师碰到问题时，就要向问题学习，了解问题的本质，这样才能正确、轻松地应对课中学生的意外生成。

（江苏省无锡市荡口实验小学 214116

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214196）