“平均数”的“变教为学”

高莹

“变教为学”的教学模式对学习内容的要求是“突出本质、渗透文化、实现关联”，为了达到这一要求，需要教师在备课的过程中认真思考学生应当“学什么”和“怎样学”。平均数属于我国现行义务教育数学课程标准中统计与概率的部分，在教学过程中，过于注重平均数的计算方法，而轻视对平均数本质、意义的理解，会使学生在计算平均数的时候出现各种各样的错误，对平均数产生诸多误解。学习平均数的计算公式并不能替代对平均数概念的理解。下面笔者以“平均数”的内容为例，进行活动记录单的设计。

通过对平均数进行研究，发现历史上平均数最早是用来估计大数的。在公元4世纪的古代印度故事中，有一棵长有两条巨大树枝的茂盛的大树，主人公Rtuparna想要计算这两条树枝上叶子和果子的数量，他先估计了树根部的一条细枝上叶子和果子的数量，再乘以细枝的数量，最后得出的答案是2095，这和第二天人们数出来的真实数字非常接近。[1]尽管在故事中Rtuparna是如何选择细枝的还不能确定，但他必须选择一条平均大小的细枝，才能得到比较好的估计。这其中隐含着平均数直观的初期形式（intuitive precursor），因为所选的细枝代表了其余的所有细枝，在求总数的过程中，它扮演了连接的角色，平均大小的细枝具有代表性。

从历史故事中得到启发，平均数的学习应该以大数估计为起点，通过“活动一”再现这种方法，让学生理解平均数的代表性。

活动一：某学校总共有30个班级，每个班级的人数如下，你能算出全学校大约有多少人吗？和同伴说说你的想法。

活动一要求学生计算全学校大约有多少人，也就是让学生估算出这组数据的和，这和历史故事中估计“叶子和果子的数量”是类似的。由于估算方法具有多样性，所以学生会产生如下解法。

方法一：将这组数据中最大的数和最小的数相加再除以2，用得数乘30。

方法二：将这组数据按大小顺序排列，用处于最中间的一个数乘30。

方法三：选取数据中出现次数最多的数，再乘30。

方法四：运用四舍五入法，“42”近似为“40”，“47”近似为“50”，“34”近似为“30”，再把这些数和个数相乘，最后相加得到结果。

前三种方法都是选取了能代表一组数据的值，这个值要能代表班级人数的平均水平，才能得到比较好的估计，虽然有的班级人数多于平均数，有的班级人数少于平均数，但在求和过程中正好相互抵消，其中也出现了中位数、众数的概念。通过此活动可以发现平均数和估算有密切关系，并且平均数、中位数和众数都具有代表性，建立了学习内容与数学知识之间的联系。教师可以在“活动一”之后给学生讲述平均数的历史故事，让学生进一步思考和体会。按照历史的发展，平均数的教学应由大数估计引入，先让学生理解平均数的代表性，再来学习计算方法，而不是先学习计算方法，再让学生理解代表性。

当学生对平均数有了直观的认识之后，“活动二”的设计是学习平均数的计算方法。经历平均数计算方法的探索过程，可以加深学生对平均数的认识。

活动二：（1）甲、乙两商店出售帽子，下图列出了甲商店前四个星期卖出的帽子数、乙商店前三个星期卖出的帽子数，你知道哪家商店的销量较好吗？（2）乙商店在第四个星期卖出多少顶帽子，才能使平均每天卖出7顶帽子？和同伴说说你是怎么做的。

设计活动二的第一个问题的目的之一是学习平均数的两种计算方法，一种是用数据总数除以个数，另一种是移多补少，用多的部分去补偿少的部分；目的之二是让学生体会平均数可以用来比较数量不同的群体，体会平均数的作用。学生会发现，此时用帽子的总数比较销量不太公平，所以会想出如下解法。

方法一：分别算出甲、乙商店帽子的销售总数，再除以对应的星期数，最后用得出的两个数据进行比较。

方法二：甲商店把第一个星期的1顶帽子移动到第二个星期，把第四个星期的2顶帽子移动到第三个星期，此时每个星期的帽子数量都相等。乙商店把第一个星期的3顶帽子移动到第二个星期，此时每个星期的帽子数量也都相等。最后用两个平均数进行比较。

活动二的第二个问题给出了三个数据和一个平均数，让求第四个数据。用数据总数除以个数的方法此时无法直接使用，考查的是对平均数的理解。学生可能会想出如下解法。

方法一：四个星期平均每天卖出7顶帽子，求出四个星期卖出帽子的总数，再减去前三个星期卖出帽子的数量。

方法二：第一个星期卖出的帽子较多，把其中3顶帽子移动到卖出帽子较少的第二个星期，则前三个星期都卖出了6顶帽子，要求平均每天卖出7顶，这样就还差3顶，再加上第四个星期平均卖出的7顶，得出第四个星期需要卖出10顶才可以。

方法三：把第一个星期中的1顶帽子移动到第二个星期，再移动1顶到第三个星期，这样前三个星期分别卖出了7， 4， 7顶，那么，用第二个星期差的3顶，再加上第四个星期平均卖出的7顶，答案是10顶。

方法四：第一个星期保留3顶帽子，把6顶都移动到第四个星期，这样四个星期距离要求的7顶帽子，分别差了4，4，1，1顶，计算4+4+1+1=10，答案同样是10顶。

平均数计算公式的灵活运用和移多补少的方法都可以解答这道题，方法二、三、四使用的都是移多补少的方法，不同之处在于分别以6，7，3为标准，当然也就存在着其他的解法，需要学生认真地思考。

平均数的求法在我国古代文献中就早有记载。魏晋数学家刘徽（约公元225—公元295）注释的《九章算术》第一卷记载：“平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。”意思是在许多不相等的数中，把大的数减小，把小的数增大，最后使得所有的数都相等，称之为“平分”。这与移多补少的方法相同，数据少的时候采用移多补少的方法可以直观地体现出平均数的补偿性。

经过以上两个学习活动，学生对平均数已经有了初步的认识，此时，很容易将“平均数”和以前学习过的“平均分”混淆，这两者具有密切的联系，但在概念上又有本质的区别。“除法的初步认识”中的平均分指每份分得同样多，平均分是一种确定的分法，在任何一种分法的基础上，通过移多补少就可以实现平均分，每份分得的数量具有实际意义。平均数是一个统计概念，它在现实生活中不一定具有实际意义。学生是在已经学过平均分的基础上进行平均数的学习，平均分是指“总数÷份数=每份数”，平均数的计算公式为“数据总数÷个数=平均数”。例如：甲有3个苹果，乙有5个苹果，一共有8个，如果平均分，则甲、乙各得到4个。这个计算过程和求平均数的方法看起来十分类似。“活动三”的设计可以帮助学生了解平均数是一个统计概念。

活动三：有新闻报道：“上海每户家庭平均2.5人；韩国平均2.5人就拥有1辆汽车。”请你想一想，其中的“2.5人”是什么意思？

在学生的回答中，有的学生会认为“点5”是一个孩子，“2.5人”就表示两个大人和一个小孩，出现这样的问题说明在学生的思维中平均数还没有完成由一个代数概念到一个统计概念的转变。半个人是不存在的，当A家庭有2人，B家庭有3人，每户家庭平均就有“2.5人”。以上报道可以理解为“上海每两户家庭平均5人”和“韩国平均5人就拥有2辆汽车”。教师此时还可以追问学生“每个人平均每天锻炼1. 5小时”中的“1.5小时”是什么意思，学生可能认为“1.5小时”是一个具体的时间，所以它有实际意义。教师要引导学生理解和区分，让学生用自己的语言去解释平均数的统计意义。

“变教为学”强调学习内容要“实现关联”，指的是既要建立学习内容与数学知识之间的联系，还要建立学习内容与生活的联系，所以，最后设计“活动四”，让学生感受平均数在自然界和社会中处处存在。

活动四：说说哪些生活场景、自然现象或者数学知识与平均数有关？

活动四的回答是开放性的，在学生举例的基础上，教师可以补充一些有关平均数的知识。比如，自2014年12月28日起，考虑儿童身高普遍提高的实际状况，可免票乘车的儿童身高从1.2米提高到1.3米，范围增加了10厘米。北京市2010年国民体质监测结果显示，6岁男童身高均值为120.3厘米，6岁女童身高均值为118.8厘米。北京市就是参照6岁儿童的平均身高确定的免票线高度。南水北调工程和西气东输工程分别是把水和天然气从资源多的地方运往贫乏的地方，达到一个相对的平均，都体现了移多补少的概念。

“变教为学”要求学习内容“突出本质、渗透文化、实现关联”。所以，对“平均数”教学进行的学习活动设计，应注意以下几个方面的内容：首先，需要突出平均数的本质，了解其发生和发展的历史，创设情境让学生感受“知识因需要而产生”，体会其存在的价值。其次，需要渗透平均数的文化，让数学学习更加丰富多彩。最后，把平均数与学生已经熟悉的内容建立联系，实现“化未知为已知”，教会学生在生活中使用平均数来解决问题。

“变教为学”把备课过程中主要思考的内容定位于学生应当“学什么”和“怎样学”，也就是要确定学生应当学习的学习内容和设计学生应当经历的学习活动。[2]因此，对于教师来说，首要任务是确定准确、精练的学习内容，设计可行、有效的学习活动，这是一个需要主动学习和思考的过程。

参考文献：

[1] Arthur Bakker and Koeno P.E. Gravemeijer. An Historical Phenomenology of Mean and Median [J]. Educational Studies in Mathematics，2006，62（2）：149-168.

[2] 郜舒竹. “变教为学”从哪儿做起[J]. 教学月刊小学版数学，2013（9）.

（首都师范大学初等教育学院 100048）