精析多边形

高　峰

多边形的计算问题主要涉及求多边形内角的大小和多边形的边数.n边形的内角和是（n-2）·180°，外角和是360°，由此可知，由多边形的边数可以求出它的内角和，由多边形的内角和可以求出它的边数.

不仅如此，我们根据n边形的内角和是（n-2）·180°可以知道，多边形的内角和是180°的整数倍；根据多边形的外角和是360°可知，多边形的外角和不随多边形边数的变化而变化.在研究多边形的内角和时，我们将多边形转化为多个三角形，这种转化的思想在解题中起着重要的作用.下面举例说明这些性质和思想方法在解题中的运用.

1. 利用多边形的内角和公式

例1已知一个多边形的内角和是外角和的5倍，求这个多边形的边数.

[解析：]因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为5×360°.设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得（n-2）·180°=5×360°.解得n=12.所以多边形的边数为12.

2. 利用多边形的外角和

例2已知一个多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数.

[解析：]设这个多边形的边数为n，由于这个多边形的每个内角都是135°，则它的每个外角都是45°.因多边形的外角和是360°，故n==8.

这道题也可用内角和公式求解，根据多边形的内角和公式，可得（n-2）·180°=n·135°.解得n=8.

3. 利用多边形的内角和是180°的整数倍

例3一个多边形除一个内角外，其余各内角之和为2 750°，则这个多边形是几边形？

[解析：]因为2 750°=15×180°+50°，根据多边形的内角和是180°的整数倍，且每个内角都小于180°，所以除去的内角是130°.故这个多边形的内角和是2 750°+130°=2 880°.设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180° =2 880°，解得n=18.

4. 利用多边形的外角和是360°

例4一个多边形的内角中最多可以有几个锐角？

[解析：]利用多边形的内角和来解决这个问题显然比较复杂，我们可以考虑用多边形的外角和不变的性质解题.如果一个多边形中的某个内角是锐角，则与之相邻的外角必为钝角.因n边形的外角和是360°，故n边形的外角中最多可以有3个钝角.所以一个多边形的内角中最多可以有3个锐角.

5. 学会转化问题

把要求解的问题转化为利用已有知识可以解决的问题，这是解数学题的基本思想方法之一.我们在研究多边形的内角和时，就是将其转化到三角形中来解决的，现在我们也可以把其他的问题转化为多边形问题来解决.

例5如图1，求∠BAD+∠B+∠C+∠D+∠E+∠CFE的大小.

[解析：]我们可以通过作辅助线将图1中的几个角转化到三角形或四边形中，这样就可以借助它们的内角和来解决问题.

连接AF，由AD和CF交于O点可知，∠FAO+∠AFO=∠C+∠D.

因为∠FAB=∠FAO+∠BAD，∠EFA=∠AFO+∠CFE，所以∠FAB+∠EFA=∠BAD+∠CFE+∠C+∠D.在四边形ABEF中，∠FAB+∠B+∠E+∠EFA=360°，故∠BAD+∠B+∠C+∠D+∠E+∠CFE=360°.