“正比例”与“反比例”的变教为学

郜舒竹

关于比和比例的系统理论最早出现于古希腊欧几里德的《原本》中，其概念的定义出现于第五卷。

《原本》中关于比和比例的内容大多用于几何问题以及数论方面的研究，而且对于数学内容的研究起到了重要的作用。[1]正是这样的重要性，使得比和比例作为数学课程与教学的内容，历经两千余年而不衰。

一、仅有“生活”情境是不够的

我国小学数学中“正比例”和“反比例”的课程内容，在人民教育出版社2013年10月出版的《义务教育教科书数学》中，安排在六年级下册。对于“正比例”的学习，教科书中利用的是“购物”的情境（见图1），也就是通过“购买铅笔”的实际情境，让学生感受到当单价固定不变的时候，“数量”与“总价”是成正比例的。

对于“反比例”的学习，教科书中利用的是把相同体积的水倒入底面积不同的杯子（见图2），让学生感受到在水的体积固定不变的情况下，容器的“底面积”和水的“高度”是成反比例的。

这样的安排应当说利用了学生已有的知识和经验，对于学生了解“正比例”和“反比例”的含义是有益的。但同时应当认识到，学生在小学的最后阶段学习正比例和反比例，具有承上启下的作用。一方面应当体现对过去所学的相关数学内容的总结，另一方面应当为初中相关数学内容的学习奠定基础。

因此，在教学过程中，不能将正、反比例所适用的情境仅仅定位于所谓的“生活情境”，还应当包括数学中的内容。比如圆的周长与直径（或半径）之间的关系就是典型的正比例关系。另外，正比例和反比例并不是相互割裂的两个概念，往往表现为同一情境中的不同关系。比如在“行程问题”中，如果速度是固定不变的常量，那么路程和时间就是成正比例的关系；同样，如果时间是固定不变的常量，那么路程和速度也是成正比例的关系；如果路程是固定不变的常量，那么速度和时间就是成反比例的关系。

事实上，所有正比例和反比例关系都可以概括到数学模型“a×b=c”中，如果其中一个因数（a或b）代表固定不变的常量，那么另一个因数所代表的变量与字母c所代表的变量就是成正比例关系的；如果其中字母c所代表的是固定不变的常量，那么两个因数a和b分别代表的变量就是成反比例关系的。因此，凡是具有两个量之积等于另外一个量的情况，其中就应当有正比例和反比例的关系。

二、长方形中的“正比例”和“反比例”

所有长方形的面积与其边的长度和宽度的关系可以概括为“长×宽=面积”。其中如果“面积”是固定不变的常量，那么“长”与“宽”的长度就是成反比例的量。如果一条边的长度，比如“宽”是常量，那么“长”与“面积”就是成正比例的关系（见图3）。

图3中的正比例关系可以表达为“A1∶A2=a1∶a2”，或者用分数的符号表示为“=”。在此基础上，图4的长方形中，如果用A1，A2，B1，B2分别代表相应部分的面积，那么就有“=”和“=”同时成立。因此就有“=”成立。

这样的关系可以进一步推广，在图5中，如果每个字母代表相应部分的面积，那么就有下面的正比例关系：

==…=

这样的模型在解决问题中是有用的，比如图4中如果已知四个部分中任意三个部分的面积，那么利用=就可以轻易地求出另外一个部分的面积。

三、三角形中的“正比例”与“反比例”

任意三角形的面积与其“底”边长度和“高”度之间的关系为“底×高=2面积”，如果三角形面积是常量，那么面积的“2倍”自然也是常量，此时三角形的“底”边长度和“高”度就成反比例关系。如果“高”度是常量，那么三角形的面积与“底”边长度就是成正比例关系。比如在图6中，图中大写字母A1和A2分别代表相应部分的面积，小写字母a1和a2分别代表相应底边的长度。

由于三角形的高度是固定不变的常量，因此底边长度和面积就是正比例关系，可以表示为如下的形式“A1∶a1=A2∶a2”，或者“=”。这样的关系可以推广为图7的形式。

类似的正比例关系为“A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an”，或者“==…=”。

这样的正比例关系实质上沟通了边的长度与相应部分面积之间的关系，这样的关系在今后中学乃至大学的数学学习中都是重要的。比如对于三角形重心位置的确定，就可以运用这样的关系。

在图8的三角形ABC中，D点是BC边的中点，E点是AC边的中点。从三角形的顶点到对边中点的连线叫作三角形的中线。图8中的AD和BE都是三角形ABC的中线。三角形ABC的重心就位于中线的交点O处。

下面需要确定重心O点的具体位置。首先，由于三角形ADC和BCE的面积都是大三角形ABC面积的一半，所以二者面积相等。把这两个三角形同时去掉公共部分（四边形OECD），就可以知道三角形AOE和三角形OBD面积相等。同样方法还可以知道三角形ABO和四边形OECD面积相等。

再来看看三角形OBD与其相邻的四边形OECD的面积是什么关系。为了便于比较，连接O点和C点，把四边形分割为两个三角形ODC和OEC（见图9）。

由于D点是BC边的中点，因此三角形ODC与邻近的三角形OBD面积相等，三角形OEC与邻近的三角形AOE面积相等。联系刚才的结果，就可以知道下面两个关系，三角形ABO的面积等于三角形AOE面积的2倍，也等于三角形OBD面积的2倍。

利用前面所说的面积与边长的正比例关系，立刻就可以知道线段BO的长度是线段OE长度的2倍，同样线段AO的长度是线段OD长度的2倍。现在就知道三角形重心的具体位置了，任意三角形的重心是三条中线的交点，这个交点位于每一条中线靠近底边的三等分点处。

四、“正比例”与“反比例”的教学设计

综上，关于正比例和反比例的教学应当形成的观点主要有三点：第一，正比例和反比例并非全新的知识，其本质是对所有具有“两个量之积等于第三个量”的数量关系进行概括的数学模型；第二，正比例和反比例往往是同一模型中的两种关系，所以在教学中可以同时出现，便于学习过程中的对比；第三，这个模型对于学生的数学学习有承上启下的作用，所应用的情境不应当局限于所谓的“生活”，还应当包含有数学中的内容。

“变教为学”倡导知识的呈现应当“突出本质、渗透文化、实现关联”。作为我国传统文化的成语中，有些也蕴含着正比例和反比例的观念。比如成语“半斤八两”，中国古时关于重量的计量单位为“1斤=16两”，“斤”与“两”的关系其实就是正比例关系。事实上，所有度量单位之间的转换，都是依据类似于此的正比例关系。再比如成语“事半功倍”，表达的意思是做事方法巧妙，虽然费力小，但是做出的成果大。也可以把其中的“事”理解为工作时间，“功”理解为工作效率，那么这个成语所说的意思就是在工作总量不变的情况下，工作效率与工作时间是反比例关系，也就是说，提高效率就等于节约了时间。

有了这些认识，就可以把学习目标叙述为：“总结具有两个量之积等于第三个量的数量关系；认识其中的正比例关系和反比例关系。”依据这样的学习目标，可以设计如下的学习任务。

任务1：写出所有你知道的，具有“□×□=□”形式的公式。比如“长×宽=长方形面积”。在小组内交流，互相补充。

学生依据这样的任务，就需要在自己已有的知识和经验中回忆。可能写出的关系式主要有如下的类型：度量单位换算；面积和体积公式；工程问题；行程问题；购物问题；等等。这样的回忆能够帮助学生对已有的知识和经验进行归纳，发现其共性，为下面概括出正比例和反比例关系做好准备。

任务2：在“□×□=□”的三个量中，如果固定其中的一个，那么另外两个量是什么关系呢？用一个例子进行说明。

设计这个任务的目的是让学生体会“常量”与“变量”的含义，同时感受两个量之间依赖与制约的关系。

任务3：自己想想，什么叫作“两个量成正比例”？什么叫作“两个量成反比例”？在小组内说说自己的想法。

通过对这些任务的思考讨论，学生可以初步经历比较并且概括的过程。在此基础上，可以引导学生阅读教科书，进一步明确“正比例”和“反比例”的含义。在此基础上，运用前面所说的成语解读以及相关的数学问题等内容，让学生经历深入理解正比例和反比例关系的过程。

参考文献：

[1] Isaac Barrow. Euclid’s Elements[M]. London： Printed and Sold by W. Redmayne. 1714.

（首都师范大学初等教育学院 100048）