分部积分的计算方法与技巧

余焌瑞

摘    要： 本文介绍了分部积分法及其技巧，论述了分部积分的常见类型和重复实施分部积分法时的表格运算法.

关键词： 不定积分    计算方法    被积函数

1.引言

当今高科技领域越来越离不开不定积分的计算，比如在航空、航天、船舶等高科技计算过程中，并且有的要应用到相当复杂的不定积分计算.除了在高科技领域应用广泛外，在其他领域的应用也相当广泛，如：在金融股市上、在防治生态环境上、在国防上等，已经和各行各业息息相关.既然不定积分的计算方法技巧如此的重要，那么，它的方法和技巧又是怎样的呢？文中主要通过实例逐一展示以上的计算方法与技巧，并在题后对所用的方法与技巧进行相关评析.

2.分部积分法

2.1分部积分法的常见类型

① x e dx， x sinbxdx， x cosbxdx，其中n是正整数，x 也可是n次多项式p （x）.选取u=x ，v′=e ，sinbx，cosbx.此类型的被积函数，可以见例10的解法.

② x lnxdx， x arcsinxdx， x arctanxdx，其中n是正整数或零，x 是n次多项式p （x）选取u=lnx，arcsinx，arctanx，v′=x .当n=0时，被积函数只是一个因子，如 arcsinxdx.此类型的被积函数，可以见例11的解法.

③ e sin（ax+b）dx， e cos（ax+b）dx，可设u=e 或设u=sin（ax+b），cos（ax+b）.此类型的被积函数，可以见例12的解法.

④如果被积函数含有lnf（x），arcsinf（x），arccosf（x），arctanf（x）等函数的积分，那么一般选取u=lnf（x），arcsinf（x）等.此类型的被积函数，可以见例13的解法.

一般情况下，当被积函数只有一个因子，但不适于用换元积分法时，可以从分部积分法入手.

如：① lnxdx=xlnx- ldx=xlnx-x+C

② arcsinxdx=xarcsinx- xdarcsinx=xarcsinx-  dx

=xarcsinx-   dx =xarcsinx+  （1-x ） d（1-x ）

=xarcsinx- （1-x ） +C

例1：求不定积分： x e dx

解： x e dx=  x de

= （x e - e dx）= （x e - xe ）

= （x e -xe + e dx）= x e - xe + e +C

在例1中，3次重复使用了分部积分法常见类型①，这样的方法对于多项式p （x）的低次幂容易求得结果，但对于高次幂会非常繁琐.

例2：求不定积分 e cos xdx

解：I=  e （1+cos2x）dx= e +  e cos2xdx，而

e cos2xdx=  cos2xde

= （e cos2x+2 e sin2xdx）

= e cos2x+  sin2xde

= e cos2x+ （e sin2x-2 e cos2xdx）

移项得， e cos2xdx= e （cos2x+sin2x）+C

从而I= e （2+cos2x+sin2x）+F

在例2中，计算 e cos2xdx时，2次重复使用分部积分法，直到等式的右边也出现 e cos2xdx时就停止使用.目的在于移项求出 e cos2xdx的值.本题的计算并不困难，但技巧性很强，在做这类型的题目时要注意观察.

例3：求不定积分  dx

解：令u=arctan ，且 dx=d ，

则I= arctan -  dx= arctan + +C.

在例3中，u的选取很重要，如果选取u=x  ，那么这道题目就很难算出来，而要想选出适当的u则必须注意观察被积函数的表达式.通过对这道例题的观察发现是可以用利用分部积分法的常见类型④的技巧来令u的.因为积分   dx的被积函数中的分子是含arctanf（x）的形式.

2.2重复实施分部积分法时的“表格运算法”

假设p（x）是一个多项式，那么在利用分部积分法 udv=uv- vdu，计算形如 p （x）e dx， p （x）sinmxdx，p （x）cosmxdx的不定积分时，选定p （x）为u，则需要多次施行分部积分，这个过程很容易发生计算错误.为了能避免错误，并提高运算效率，可以采用如下的表格计算格式.

例4：（x -1）e dx

解：列表

（斜线箭头两端的两项相乘，前面加上所示符号，符号是正负相间出现的，然后再加即得结果.）

在上面的列表中，把x -1放在第一行的最左端，然后从左到右，依次写出逐次求导的结果，直到導数等于零为止.再将e 放在第二行的左端，然后从左到右，依次写出逐次求原函数的结果，直到导数为零的下方位置为止，最后按照表中所示的符号规则写出最终答案.

∴ （x -1）e dx

=（x -1）（ e ）- e + e +C

=e （ x - x- ）+C

例5： x  dx

解：列表

原式

分部积分法的运用范围比较有限，主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分，u和v的选择一般的可总结为“指三幂对反，谁在后面谁为u”，即被积函数是指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数中的两类函数乘积形式，谁在后面谁为u，按这种方法选择u和v是十分有效的.“表格运算法”特别适合用于计算   （x）edx，p（x）sinmxdx，p（x）cosmmxdx这类型的不定积分.

利用重复实施分部积分时的“表格运算法”是求导与求原函数同时运用的，这样不仅使得问题变得简单有规律可循，而且锻炼了我们的正逆向思维.在求不定积分的最后结果时，不要忘了加上常数，表明被积函数的原函数有无穷多个.

重复实施分部积分法时的“表格运算法”与常见的类型（1）中的被积函数是相同的.这两种方法各有优点和缺点.选取“表格运算法”的优点是由于我们对求导的运算有规律可循，但是求原函数是有一定的困难的.求原函数要逆向过程，为了使求出的原函数是正确的，我们可以对原函数进行求导，看是不是等于被积函数.这就使计算量增大，粗心的人很容易算错，比如例3中的第二行求原函数时，计算就比较繁杂了，因此要应用“表格运算法”时必须细心还要有逆向过程的想法.

选用常见类型（1）的方法有点对于被积函数是多项式p（x）的低次幂与指数函数的乘积容易求得结果，但是对于被积函数是多项式p（x）的高次幂与指数函数的乘积利用这种方法是极为困难的，计算过程也十分繁琐.因此，不定积分的计算方法比较灵活，技巧很多，在做题中应抓住被积函数的特点，以便选取恰当的计算方法.

3.结语

本文归纳了以分部积分法的常见类型及重复实施分部积分法时的“表格运算法”，用解方程组求不定积分.解决了一些仅仅用教材中的方法不能解决或难于解决的不定积分的计算问题.每一种方法都配有相关的例题进行说明和评点每种方法的不同点.

参考文献：

[1]刘艳梅.不定积分的方法与技巧探讨[J].吕梁高等专科学校学报，2008（2）.

[2]陈茜.分部积分法的特例分析[J].韶关学院学报，2008（3）.

[3]王晗宁.浅谈不定积分的解法[J].南京晓庄学院数学与信息技术学院，2010（2）.

[4]邓小宇.浅谈一元函数不定积分的计算方法与技巧[J].贵州财经学院，2011.

[5]伍丽嫦.不定积分方法归类[J].广东清远职业技术学院，2007.

[6]郭镜明.美国微积分教材精粹选编[M].北京：北京高等教育出版社，2012.