不等式证明技巧
2015-09-10吴捷云
吴捷云
摘 要： 不等式是研究数学问题的重要工具。不等式的证明方法灵活多样，本文通过实例说明不等式证明的某些技巧。
关键词： 不等式 证明 技巧
不等式是研究数学问题的重要工具，它渗透在数学的各个分支学科，有重要的应用。不等式的证明方法灵活多样，它可以和很多内容相结合，对不等式的证明进行探讨无疑是十分有益的。本文通过实例说明不等式证明的某些技巧，提高分析问题与解决问题的能力。
例1：设x，y，z是不全为零的实数，求证：
5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.
证明：设二次型f（x，y，z）=5x +y +5z -8xz+4xy-4yz，则f的矩阵是
A=5 2 -42 1 -2-4 -2 5.
因为A的各阶顺序主子式为：
|5|=5>0;5 22 1=1>0; 5 2 -4 2 1 -2-4 -2 5=1>0;
所以，A正定，从而，二次型f（x，y，z）正定，当x，y，z不全为零时f（x，y，z）>0.即5x +y +5z -8xz+4xy-4yz>0，
因此5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.
例2：求证：n x ≥（ x ） .
证明：令f（x ，x ，…，x ）=n x -（ x ） ，则f为二次型，其矩阵为
A=n-1 -1 … -1 -1-1 n-1 … -1 -1… … … … …-1 -1 … n-1 -1-1 -1 … -1 n-1，
将第2，3，…，n列加到第1列，则第1列元素全为零，故|A|=0;用同样的方法可求出A的i阶主子式为（n-i）n >0（i=1，2，…，n-1）.
因为A的主子式都大于或等于零，所以A是半正定的;从而二次型f（x ，x ，…，x ）半正定，所以f（x ，x ，…，x ）≥0，即
n x ≥（ x ） .
例3：设A，B，C是一个三角形的三个内角，证明对任意实数x，y，z，都有
x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC.
证明：记f（X）=X′AX=x +y +z -2xycosA-2xzcosB-2yzcosC，其中
X=（x，y，z）′，P= 1 -cosA -cosB-cosA 1 -cosC-cosB -cosC 1，A+B+C=π，cosC=-cos（A+B）.
对P做初等行变换得：
P～1 -cosA -cosB0 sinA -sinB0 0 0，
于是P的特征值為0，1，sinA，从而得二次型f（X）是半正定的，即对于任意实数x，y，z，f（X）≥0，即x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC成立.
例4：设A是实对称矩阵，其特征根为λ ≤λ ≤…≤λ ，则对任意的实向量X有
λ X′X≤X′AX≤λ X′X.
证明：A是实对称矩阵，存在正交矩阵T，使
T AT=λ λ ？埙 λ ，
于是T AT-λ I特征根非负，即矩阵A-λ I半正定.这样
X′（A-λ I）X≥0.
因此
X′AX≥λ X′X.
同理可证
X′AX≤λ X′X.
例5：设a ∈R，（i=1，2，…，n）证明：
n（a +a +…+a ）≥（a +a +…+a ）
证明：设D=n（a +a +…+a ）-（a +a +…+a ） ，只要证D≥0.
由于
D=a +a +…+a a +a +…+a a +a +…+a n
= a a +a +…+a a n
= a a a 1= a a a 1 1
所以
D= a a a 1 1= （-a ）a a 1 1，
因此
2D=D+D= （a -a ）a -a 1 1= （a -a ） ≥0.
這就证明了D≥0.
参考文献：
[1]张荣.辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学的实践与认识，2007，37（20）：224-226.
[2]高淑娥.不等式证明中辅助函数的构造[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2013，27（1）：79-81.
[3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29.
基金项目：广东省高等教育特色创新项目（2014GXJK125）
