在课堂教学中适时渗透数学思想方法

周艳

摘    要： 既没有脱离数学知识的数学思想方法，又没有不包含数学思想方法的数学知识;想让学生真正达到既掌握数学知识，又能逐步领悟其中思想方法的精髓，就需要我们尽可能地在课堂教学中逐步渗透数学思想方法;在教学过程中我们要有目的、有意识、有计划、有步骤地进行数学思想方法的渗透，强调的是渐进性和长期性。

关键词： 数学思想方法    数学课堂教学    渗透策略

初中数学教学内容实质上是由数学基础知识和数学思想方法这两个基本部分组成的。教材的每一章节都能寻找到这两个基本内容有机结合的身影，也就是说没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。传统的教育观念只重视基础知识却忽视了思想方法，也就忽视了素质教育的本质，《新课标》中“四基”的提出正是体现了这种现代教育的思想。要想让学生真正达到既掌握数学知识，又能逐步领悟其中思想方法的精髓，就需要我们尽可能地在课堂教学中逐步渗透数学思想方法。之所以用“渗透”描述，是因为在教学过程中要把知识和思想方法有机结合在一起，不能采用简单、生硬的灌输方式，所以在教学过程中我们要有目的、有意识、有计划、有步骤地进行数学思想方法的渗透，强调的是渐进性和长期性。下面就谈谈笔者在教学中渗透数学思想方法思考。

1.在概念引入过程中渗透数学思想方法

数学概念的学习可以分为两种基本形式：一是概念形成;二是概念同化。

概念形成是从外部的、比较具体的非本质特征到内部的、比较抽象的本质特征的不断深化的过程。到逻辑定义阶段，概念才最终形成。所以，我们通常在教学中会从大量的具体例子出发，让学生从实际经验的肯定例证，归纳方法中概括出一类事物的本质属性，在此过程中可以适时渗透数学思想方法。

例如，在讲解一元二次方程概念时，先给出已经得出的一些具体的方程，分析其特征，抽象出一般形式ax+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）。为了进一步理解概念的内涵和明确概念的外延，需要再举出概念的否定例证和肯定例证，包括各种“变式”，如：x-x-6+0，x=0，3x-4=0，x+y=5，2x-x=0，-3=0等。这个过程就是从特殊到一般，再由一般到具体的思想的体现。教师也可以适时介绍归纳思想。在给出的各种变式中，毫无疑问会有各种需要化简整理之后变成一般形式的一元二次方程，这就是我们通常所讲的“化归思想”。

概念同化是指用定义的方式直接向学习者呈现一类事物的关键特征，学习者利用认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用，以领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式。在同化新概念时，往往伴随着某些数学思想方法的运用。

例如，在讲解反比例函数时，直接给出定义，并与“正比例函数定义”进行类比，将两者的一般形式、图像及其性质都可以一一做比较。在这里使用类比的思想可以更好地突破难点，使学生更容易且更深刻地理解新概念和旧概念，促进学生概念认知结构的发展，反之也有利于学生接受这些重要的数学思想方法。

2.在定理学习过程中渗透数学思想方法

初中数学中有大量定理需要学生掌握，很多教师并不注重定理的获得过程，而只是单方向地强调定理的使用，这显然让学生失去了很多学习数学思想的机会，应该加深学生对定理的由来与定理的论证学习。著名数学家华罗庚说：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”可以说定理是压缩了的知识链，教学中应该遵循“过程教学原则”，我们应该启发学生感受、体验，弄清知识的来龙去脉，弄清每个结论的因果关系，教师也应该利用这个机会采用适当的方式渗透数学思想方法。

例如，在讲解勾股定理时，可以用边长为3、4、5的直角三角形引入新课内容，引导学生猜想勾股定理的内容，再通过多种方式证明定理，其中涉及公理化思想、转化思想、割补转换思想方法等。然后，适时利用多媒体展示勾股定理的文化价值，如：中国古代的陈子定理、赵爽的代数方法证明、华罗庚等建议采用勾股定理的名称、古希腊《几何原本》中的证明、2002年国际数学大会的会标、和外星人通讯使用的图案等。这些数学文化的欣赏可以极大地提高学生的兴趣，加深学生对数学史的理解。数学文化的欣赏，是数学思想方法的重要组成部分。通过对数学文化的欣赏能揭示数学思想的本源及数学生长的社会背景，提高学生的数学文化素养。

3.在问题解决学习过程中渗透数学思想方法

数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。在初中数学教学中，学生离不开解题，数学教师离不开指导学生怎样解决问题，解题教学一直是数学教学最重要的组成部分。但是加强解题教学，不是搞题型训练，更不是搞题海战。要想避免题海战，一方面，需要我们在解题的基础上总结归纳方法，并将之上升到思想的高度。另一方面，在解题活动中，应充分发挥数学思想方法的指导意义，加快和优化问题解决的过程，突出数学思想方法对解题的统摄和指导作用。用“不变”的数学思想方法解决不断“变换”的数学问题，这样才可以达到会一题而明一路、明一路而通一类的效果，打破“一把钥匙只开一把锁”的个别处理模式，进而将学生从浩瀚的题海中解放出来。

例如，在讲解一元二次方程的应用一课时，有这样一道例题：“某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克;销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？”经过分析利润、成本及销售量之间的关系后，学生基本能列出一元二次方程解决这道题，但是在碰到下面两道题目的时候，学生就又犯难了。题目1：某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？题目2：某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件;如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件。如果商店销售这批服装要获利润12000元，那么这种服装售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？这两题分别难在这两句话上：“每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张”和“每件提价5元出售，其销售量就将减少100件”。学生觉得列代数式的时候一会乘一会除，晕乎乎的。有的老师也觉得题目一直在变，遇见一道再讲解一道，其实完全不必如此。初中数学中最常用的转化化归思想在这里渗透就很有必要。我们应该指导学生将这两句话转化为我们已会的形式，如“每降低0.1元那么商场平均每天多售出300张”等价于“每降低1元那么商场平均每天多售出3000张”，同样“每件提价5元出售其销售量就将减少100件”等价于“每件提价1元出售其销售量就将减少20件”。教会学生将问题这样一转化，相信学生以后再遇到类似题目的时候就能主动运用化归思想，轻松解决这类问题。

再如，很多学生爱玩的“一笔画”智力游戏其实就和数学上经典的“七桥问题”一样，这是一个应用数学的好例子。学生反复尝试，有成功也有失败。图形是变化无穷的，而我们无需掌握所有的图形。就像“七桥问题”那样抽象出基本要素，我们先探索简单图形的规律，然后再用较复杂的图形验证。这个过程需要学生自己观察、猜想、归纳、验证和使用。我们只需了解：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以将任一偶点作为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图;凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点则是终点;其他情况的图都不能一笔画出。掌握了基本的数学思想方法，我们就可以以不变应万变了。

在解题教学中，还应适时采用一题多解、多题一解的教学方法，将蕴含其中的数学思想方法明确化，使学生掌握其中规律，进而使学生的能力得到提高。

4.在基本技能训练中渗透数学思想方法

在数学教学过程中，一些基本技能的训练是必不可少的，思想方法的指导不仅有利于学生熟练解决各种问题，更能引导他们从教师指导的各种方法中“悟”出其一般性，引导学生从学会解决一个问题过渡到解决一类问题，进而理解解题方法的实质，也就是我们的目的——渗透数学思想。

基本技能训练主要是针对一些基础的知识和技能的练习，其主要目的是帮助学生巩固旧知。在练习课和复习课中，很多教师把基础练习只作为引入的部分，而把“渗透”的重点放在后面的题组上，这样做无疑降低了基础练习的功能。基础练习除了回顾旧知外，还应该激发学生思维，为数学思想方法的“渗透”进行预设。

例如，在讲解因式分解一课时，需要训练学生将代数式进行“和差化积”的基本技能。这项技能很难引入“实际情景”加以诠释，也没有方法在一开始就阐明因式分解的意义和价值（往往到一元二次方程求解时才显出其作用），完全是为以后的代数方程的求解做准备的。但是，如何进行因式分解，则与数学思想方法紧密相关。李庾南老师设计了3个尝试题：（1）ab+ab，（2）x-4，（3）m-m+。让学生尝试将这些具体的代数式设法进行“和差化积”。学生可能成功也可能失败。于是李庾南教师进行启发诱导：我们能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”运用平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？经过点拨，学生恍然大悟，将这3个尝试题中的多项式化成了两个单项式的相乘。有了“公式和规律”逆向使用的基本数学方法作为指导，因式分解的本质就显得十分简单了。以后的任务便是大量地变式练习、学习技巧，形成熟练的因式分解运算能力。因式分解模块，技能训练为主，点睛之笔是“逆向思维”方法，在课堂上只有几分钟，意义非凡。

实践证明，要使学生提高解题技能，让学生掌握一定的指导解题的思想方法是非常必要的。

5.在实践活动过程中渗透数学思想方法

数学思想方法不仅是在探索推演中形成的，还需要在数学活动经验的积累基础上形成。因为数学源于生活，而生活中处处有数学，我们必须结合学生的生活经验和已有知识，设计合理的数学活动，引导学生在生活实例中发现数学问题、探究数学规律、感悟数学思想方法，让学生深切地感受到数学与现实生活的密切联系。《新课标》就专门设计了“综合与实践活动”的课程内容，有了多种形式的数学活动，数学思想的教学才能避免空洞的说教。在设计实践活动时，教师要引导学生在知识的发生发展过程中领悟数学思想方法，并将之应用到实践中，逐步达到自觉熟练的程度，以此提高自己的数学能力。

6.在阶段复习的过程中渗透数学思想方法

复习课需要整体梳理基础知识，让学生了解知识系统网络的构成。只有让学生建立了自己的知识网络体统，吸收新知识的时候才能更迅速、有效。数学思想方法正是知识间相互联系、相互沟通中的纽带，可帮助学生合理构建知识网络，优化思维结构。反之，在梳理知识的同时，引导学生对学习的各种数学思想方法的作用进行归纳、整理和提高，能促使学生加深对数学思想方法的认识，从而达到系统掌握的目标。

例如，在进行初三总复习时，可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座，以初中数学中常用的数学思想方法（如：数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归）为主线，把中学数学中的基础知识有机串联起来，让学生深刻领悟数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用，进一步完善学生的认知结构，提高学生的数学能力。

7.通过考试检测数学思想方法的教学效果

考试对教学有引导的作用。近几年的高考和中考都将数学思想方法列入考核的范围，可见数学思想方法的掌握越来越受到重视，所以我们平时在考试时也要考虑到对数学思想方法的检测。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用过程中。因此，对数学思想方法的考查需要和数学知识的考查结合起来，通过学生对数学知识的理解、掌握和应用的状况了解考生对数学思想方法的理解和掌握的程度和水平。考查时，要从学科整体意义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效检测学生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度。根据这一思路，我们关键是要做好考试题目的设计、搭配，考卷的批改和讲评。

总之，要想贯彻数学思想方法的教学，我们首先要把握教材的全部内容及蕴含在其中的基本数学思想方法，同时要事先考虑，在哪些知识点、哪些环节可以运用哪些数学思想方法，以及哪个重要的数学思想方法可以在哪些知识点中进行渗透。这样才能有计划、有步骤地将渗透数学思想方法的策略落到实处。

参考文献：

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