高中函数概念一节问题比较分析及教学建议

祝振志

摘 要： 本文以北京师范大学出版社高中《数学1（必修）》、人民教育出版社高中《数学1（必修）A版》教科书函数概念一节内容为研究对象，从“与学生的交流”和“对学生的要求”两个维度比较分析.研究发现：人教版函数概念范例呈现讲究实效，方便自学，北师大版教材范例呈现讲究点到为止的启发式学习，适合探究式合作学习；人教版教材问题数量是北师大版的2倍多，但人教版整体问题综合难度偏低.

关键词： 数学教科书 范例 比较研究

一、问题提出

随着高中数学课程标准的颁布实施与新课改的需要，现阶段我国有五种版本新课标的数学教材在各省使用.课改前，大部分省份采用的都是人教版的数学教材；课改后，各省份根据本省学情选取了适合自己的教材.前后教材版本的不同对一些经验丰富的老教师提出了挑战，即前版本对应数学内容的教学方法是否适用于新版本，前版本教材侧重的基本知识和基本技能，新版本弱化了，能否在新版本补充这些基本知识和基本技能，等等.

如何做好两个版本教学衔接的问题，除了研究课程标准、新版本教材特点和教学目标外，我们有必要对两个版本教科书具体对应内容做比较分析.函数是贯穿高中数学六大主线之一，其重要性不言而喻，而函数概念又是学生从初中升入高中接触的第一个既抽象又难理解的概念，故函数概念的教学极其重要.因此下面分别选取北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准教科书《数学1（必修）》和人民教育出版社出版的普通高中课程标准教科书《数学1（必修）A版》函数概念的一节内容作比较.

二、分析框架

文献[1]的作者通过对以往关于教材比较文献分析后提出了一个横向和纵向的教科书比较分析框架，用以调查教科书为学生提供的学习机会，并运用这一框架对三个地区小学数学教科书中分数加减法内容进行了比较研究.本文在此框架的基础上，结合函数概念内容的特点，主要对北师版和人教版教科书函数概念问题模块进行比较分析，分析框架如下：

表1 教科书的分析框架

在表1中，“与学生的交流”主要指教科书如何将数学知识传递给学生，包括数学内容、数学思想。

三、函数概念的问题比较

函数概念初步建立之后，学生需要进一步认识和理解概念，通常范例和问题是帮助学生理解和构建概念的重要组成部分.所以下面主要分析两个版本教科书范例和问题的异同.

3.1范例

范例主要指教材中演示某个特定步骤或技能的例子，但不局限于给出完整的解题步骤或给出答案的例子.下面主要从教科书中范例的呈现顺序和范例解题步骤两个方面分析比较.

3.1.1范例的呈现顺序

在概念的理解部分，北师大版在给出函数的概念之后，首先，通过两个大家比较熟悉的反比例函数和一元二次函数，让学生对新概念形成初步认识；然后，从集合的角度解释了三个具有不同背景函数，让学生再次认识函数的概念；最后，用一个有实际背景函数，升华概念的理解.

人教版在处理函数理解的部分，则采取了不同的范例呈现顺序.首先，从集合角度分析三个不同背景函数的对应关系，让学生分析、归纳三个实例的共同点，得到函数的概念，形成概念的初步认识；其次，通过学生熟悉的一次函数和二次函数，让学生建立新旧知识联系，以达到概念再认识的目的；最后，让学生经历求函数定义域、函数值和判断两个函数是否相等的过程，强化双基，达到同化概念的目的.

3.1.2范例的解题步骤的比较

我们把范例的解题步骤分为完整解题步骤和部分解题步骤.完整解题步骤应该包括：分析、求解过程、结果、反思四部分，而部分解题步骤只包含以上四部分当中的一个或几个，如只有求解过程和结果.按照以上划分规则得到：

表7 解题步骤范例数量对比

表8 范例解题步骤详细对比

由表7和表8可知，北师大版函数的概念侧重于探究式学习，教科书上的范例解题步骤都是部分解题步骤，都是点到为止的启发式学习.人教版则侧重于尽可能向读者展示完整的解题步骤，通过详细分析，夯实读者的数学双基.

3.2问题比较分析

本文研究的问题是指教科书中函数概念一节相关问题，包括范例、思考题、练习、课后习题.我们从问题类型、问题难度、范例呈现的解题步骤三个视角进行比较分析.

3.2.1问题类型及数量比较

我们把有关函数概念的问题按题型进行了划分[2]，并对问题数量进行了统计，得到如下表格.

表5 两版本教材问题形式及数量统计

通过观察上表，我们得到以下结果：

（1）两版本教科书课内巩固习题的数量相差不大，分别是13和14.

（2）人教版题目总数量远高于北师大题目的数量，是北师大版的2倍多.

（3）人教版课后习题的数量是北师大版教科书的3倍多，这样处理虽能促进学生对新知识的掌握和理解，但无形中加重了学生的负担.

我们仔细分析任教版有关函数概念的题目，发现人教版课后习题数量多的原因在于对课后习题设置了层次化的变式.如关于已知函数解析式求解函数值的问题，一共有三个变式；而关于求函数定义域的问题，也有三组变式.

3.2.2问题难度比较

根据文献[2]，我们计算出如下表所示的一组题目综合难度.

表6 两版本问题难度因素的加权平均

根据鲍建生的蛛网难度模型[3]，得到两版本问题综合难度对比图.

图6 两版本题目难度综合比较

从图中可以看出，北师大版教科书函数概念问题整体难度高于人教版，主要表现在：问题探究水平、背景深度、运算量和知识点含量的难度都高于人教版；而人教版问题推理水平难度则略高于北师大版.这从侧面说明了，北师大版函数概念配套问题数量虽少，但探究性强，思维深度较高；而人教版，配套问题数量虽远高于北师大版，但整体难度偏低.

3.3对学生认知要求的比较

3.3.1潜在认知要求对比

文献[1]把问题对学生潜在认知要求划分为四个层次，分别是记忆型、无联系的程序型、有联系的程序型、做数学.结合两版本教科书内容的特点和新课标对知识与技能的认知要求，对以上四个层次水平理解如下：

*记忆型：任务要求对以前学过的知识在理解的基础上简单记忆.如求y=■的定义域和值域.

*无联系的程序型：任务侧重训练学生的基本技能，如计算、化简、解不等式等，与概念的理解无关.

*有联系的程序型：任务强调问题的解决过程，与概念的理解相关.如判断两个函数是否为同一个函数.

*做数学：任务没有暗示可预期的解决途径，属于开放性问题，答案通常不唯一，需要将具体问题上升到本质联系，并进行复杂的思考、设计解决方案等.

按照以上四个认知要求标准，对教科书中的问题进行了划分，得到如下条形统计图：

图7 两版本认知要求对比对比

由上图可知，两个版本教科书中的问题对学生认知要求主要集中在有程序的联系型和无联系的程序型，即二者都注重培养学生的双基.从问题数量上看，人教版整体认知要求要高于北师大版.

3.3.2作答类型的对比

结合两个版本问题的特点，把问题作答类型划分为答案和数学陈述、解释、推理论证三个层次.答案和数学陈述指的是解答过程不仅要求有结果，还要做相关数学说明；解释指的是为了加深概念的理解，把问题与概念对应起来的一个过程；推理论证指的是根据一般的原理和结论说明某个特殊问题的合理性.

按照以上规则，得到如下表7所示的两套教材关于问题作答类型的比较，北师大版以“答案和数学陈述”和“解释”为主要作答类型；而人教版三个作答类型比例则比较均匀.

表7 两版本问题回答类型对比

四、结论与启示

在“函数概念”内容的呈现方式上，两版本教材的问题都以“无程序的联系型”和“有程序的联系型”为主.但人教版教材问题总量较大，是北师大版的2倍多，其原因在于人教版通常对同一个知识点设置几组变式练习，意在加强训练学生的基本知识和基本技能.虽然，人教版问题总量较大，但问题总体知识难度低于北师大版.此外，人教版教材通常会在问题旁边附加旁白，作为对教材正文内容的补充或拓展.北师大版问题数量相对较少，但教材有意对某些内容“留白”，旨在让学生自己填空，激发学生的学习积极性.如在给出函数定义之后，北师大版教材又给出三个不同表现形式的函数，但并没有结合函数定义从集合的角度具体分析.且北师大版问题的探究性和背景的丰富性要高于人教版.主要表现在教材中设置学生自己动手参与的思考交流栏目及问题类型与生活联系紧密.

两套教材不同的内容组织与呈现方式体现出编排者教学理念的不同.人教版教材无论从函数概念的引入还是范例等问题的呈现都讲究实效，方便学生自学；北师大版教材范例呈现的特点主要表现为点到为止的启发式问题，学生需要结合函数定义，对问题进行加工.也就是说北师版教材侧重于探究式学习，注重让学生经历自我构建知识的过程.

参考文献：

[1]Charalambous，C.Y.，Delaney，S.，Hsu，H.，Mesa，V. A Comparative Analysis Of the Addition and Subtraction Of Fractions in Textbooks from Three Countries （Areas）[J].Mathematical Thinking and Learning，2010，12（2）：117-151.

[2]陈月兰，袁思情.中美教材“指数函数与对数函数”内容的组织与呈现方式比较[J].数学通报.2013（8）.

[3]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002（31）.