诱导公式教法新理念

郑美华

摘 要： 快速高效记忆诱导公式是学好三角函数的必要条件，记忆诱导公式要从记忆象限角的三角函数符号开始，因为诱导公式最后均可化为象限角的三角函数符号问题，所以诱导公式的记忆必须从象限角的第一节开始做好铺垫，而不是给出诱导公式再记忆，这种方法可谓化繁为简，化难为易.

关键词： 三角函数 诱导公式 象限角 数形结合

三角函数在高中数学中占有非常重要的地位，也是高考的必考题型之一，而且大部分以中低难度的选择、填空或解答题形式出现，解答题一般与向量综合排在第十六至第十八题，这题的解题效率对后面的解题起到至关重要的作用.新课标中三角函数部分虽去掉了余切、正割、余割，但诱导公式依然是每次考试的点，准备无误地记住诱导公式是学好三角函数的必要条件。如何让学生快速高效地记住这些公式并灵活应用，以下是我在教学中总结出来的方法，事实证明，这种方法是行之有效的.

大多数老师会在给出诱导公式之后要求学生记忆，学生大都死记硬背，对数学而言，这是最不可取的记忆方法，而且诱导公式大多只是正负的差异，这种方法极易造成混淆.我认为诱导公式的记忆前期的铺垫工作是非常必要的，首先，引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义，进而用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数，由此得出三角函数所在象限的符号：正弦一、二象限正，三、四象限负；余弦一、四象限正，二、三象限负；正切一、三象限正，二、四象限负，图示为：

此时要求学生必须记住这三个三角函数所在象限的符号至滚瓜烂熟，采用的方法应该多样，比如定义法、图像法、不断重复等，也可用符号判断口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，第三象限内只有正切是“+”，第四象限内只有余弦是“+”.

记住了象限角的三角函数的符号，就等于记住了所有诱导公式.这个部分多花点时间，对后面公式的记忆可以起到事半功倍的作用.这时，可以让学生判断“当α为锐角时，2kπ+α、π+α、-α、π-α、π/2+α、π/2-α、3π/2+α、3π/2-α分别是第几象限的角？”到熟练为止.

其次，诱导公式部分，除了公式（一）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα由定义直接得到外，还有诱导公式（二）sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tanα

（三）sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα

（四）sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα，tan（π-α）=-tanα

（五）sin（2π-α）=-sinα，cos（2π-α）=cosα，tan（2π-α）=-tanα

（六）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=-sinα

抓住诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线y=x、原点等的对称性出发研究诱导公式，这样不仅与象限角的符号相呼应，而且让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式（数）与单位圆（形）紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且有利于学生对公式的记忆，减轻了学生的记忆负担，其中公式（五）由公式（一）与（三）结合得到，之所以给出，是因为其常用，而且掌握记忆方法之后公式再多都不是问题.当然，推导出这五个诱导公式后，还要将左边的α当成锐角，让学生判断左边的角属于哪个象限，结合相应象限角的三角函数符号，由学生自行得到右边的符号，看看是否一致，这样就更进一步加深对公式的理解与记忆.

学完五个诱导公式后，再给出“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，余弦变正弦；“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·（π/2）±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.

接下来，用口诀验证诱导公式（七）sin（π/2-α）=cosα，cos（π/2-α）=sinα；

再用诱导公式推导出公式（八）sin（3π/2+α）=-cosα，cos（3π/2+α）=sinα；

公式（九）sin（3π/2-α）=-cosα，cos（3π/2-α）=-sinα；用口诀验证.

接着，给出由诱导公式的变形填空题（只要在原公式上填上符号即可）.

（右边填正负号）

1.sin（-π+α）=sinα，cos（-π+α）=cosα，tan（-π+α）=tanα

2.sin（-π-α）=sinα，cos（-π-α）=cosα，tan（-π-α）=tanα

3.sin（-π/2+α）=cosα，cos（-π/2+α）=sinα

4.sin（-π/2-α）=cosα，cos（-π/2-α）=sinα

5.sin（-3π/2+α）=cosα，cos（-3π/2+α）=sinα

6.sin（-3π/2-α）=cosα，cos（-3π/2-α）=sinα

这些都可以在课内及时完成，用时不多，完成后同桌互改，或者用小测的形式老师收回，以分数的形式发还，这两种方法都能收到很好的效果.接下来让学生做有关诱导公式的练习，学生做起来便能得心应手，不用再做一道题目翻一次书，顺手了兴趣自然就来了，有了兴趣学习自然就不是问题了.

最后，用诱导公式的各类型练习题检验学生的灵活掌握程度.

1.tan690°的值为（A）

A.-■ B.■ C.■ D.-■

解：tan690°=tan（-30°+2×360°）=tan（-30°）=-tan30°=-■，此题主要是诱导公式（一）的应用.

2.已知sinα=■，α∈（■，■），则cos（π-α）等于（D）

A.-■ B.-■ C.■ D.■

解析：∵sinα=■，α∈（■，■），∴cosα=-■，

∴cos（π-α）=-cosα=■，故选D.此题是诱导公式（三）的应用及象限角正负号的判定.

3.若tan110°=k，则sin70°的值为（A）

A.-■ B.■ C.■ D.-■

解：解法一：k=tan110°=-tan70°，∴tan70°=-k>0，

∴cos70°=-■sin70°代入sin■70°+cos■70°=1中得，sin■70°=■，

∵k<0，sin70°>0，∴sin70°=-■.

解法二：∵k<0，sin70°>0，∴排除C、B，又|sin70°|<1，故排除D，此题是诱导公式（三）及三角函数平方和关系的应用，解法一直接，解法二快捷，其中排除法是选择题中常用的一种方法，可以适当培养学生这方面的解题思路.

4.若cos（2π-α）=■且α（-π/2，0），则sin（π-α）=（-■）.

解：由知cos（2π-α）=cosα知cosα=■，又α∈（-■，0），

故sin（π-α）=sinα=-■=-■.此题是诱导公式（三）（五）应用及象限角符号的判断.

5.若P（-4，3）是角α终边上的一点，则cos（α-3π）tan（α-2π）/Sin■（π-α）=（-■）.

解：由已知得sinα=■，原式=■=■=■=-■.

此题是三角函数定义及各诱导公式的综合应用.

6.化简■

■=■=■

=■=|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°

此题是诱导公式（二）（四）的应用.

7.求sin■1°+sin■2°+sin■3°+…+sin■8°+sin■89°+sin■90°值

解：∵sin■1°+sin■89°=sin■1°+cos■1°=1，

sin■2°+sin■88°=sin■2°+cos■2°=1，

sin■x°+sin■（90°-x°）=sin■x°+cos■x°=1，（1≤x≤44，x∈N）

∴原式=（sin■1°+sin■89°）+（sin■2°+sin■88°）+…+（sin■44°+sin■46°）+sin■90°+sin■45°=45+■■=■.此题是诱导公式（七）与三角函数平方和关系的综合应用.

8.（2012年福州质检）已知cos（α+■）=■，则sin（■-α）的值等于（A）

A.■ B.-■ C.■ D.±■

解析：sin（■-α）=sin[■（α+■）]=cos（α+■）=■，

此题通过诱导公式（七）的巧妙应用，化未知为已知.

9.若■=2，则sin（θ-5π）sin（■-θ）=（■）.

解析：由已知得■=2，∴tanθ=3，∴sin（θ-5π）·sin（■）=sinθcosθ=■=■=■.

此题充分利用三个三角函数之间的关系，再利用诱导公式（一）（三）（九），化繁为简，得解.

通过以上练习，大部分学生能灵活准确地掌握诱导公式，为后面的学习打下坚实的基础.

由上所述，让学生高效快速记忆诱导公式，并不仅仅是一个口诀一两节课的问题，还必须有我们老师做大量的前期准备与铺垫工作，才有学生的高效快速记忆.总之，诱导公式的记忆不是一节课两节课的问题，我们必须注重知识的连贯性，未雨绸缪，诱导公式的记忆也不是学生花上一两个小时的问题，数学公式的记忆必须在理解的基础上，尽量地化繁为简，化难为易，这样不仅老师事半功倍，学生也能从中受益无穷.