常微分方程的应用探讨

刁菊芬

摘 要： 微分方程是数学分析的一个重要分支，本文通过对一些医学模型的分析，说明了常微分方程在医学上的应用。随着人类的进步，科技的发展，以及社会的日趋数字化，微分方程应用的领域越来越广泛，相关的数学内容越来越丰富。

关键词： 微分方程 应用 医学模型

一、引言

微分方程作为《数学分析》的一个重要的分支，萌芽于17世纪，建立于18世纪。从17世纪末开始，科学家们在研究摆的运动、弹性理论及天体力学等实际问题时，引出了一系列的常微分方程。在当代，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，如飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制、人口发展模型、交通流模型、化学反应过程稳定性的研究等。因此，微分方程的研究是与人类社会密切相关的。下面我就通过一些实际模型，讨论常微分方程在医学上的应用。

二、应用举例

1.模型一：胰脏功能检测

有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里检查其功能，正常胰脏每分钟吸收掉染色的40%，现内科医生给某人注射了0.3克染色，30分钟后还剩0.05克，试问此人的胰脏正常吗？

解：假设此人的胰脏是正常的。

用P（t）表示注射染色后t分钟时此人胰脏中的染色量。由于正常胰脏每分钟吸收染色的40%，即染色的衰减率为40%，从而得到

■=-0.4，即■=-0.4P（1）

这是一阶可分离变量的微分方程，分离变量可得■=-0.4dt

两边积分可得？蘩■=-？蘩0.4dt

故方程（1）的通解为ln|P|=-0.4t+C■，整理得

P（t）=Ce■

由P（0）=0.3有C=0.3，故胰脏中所含的染色量与时间的关系为

P（t）=0.3e■

30分钟后剩下的染色应为P（30）=0.3e■。这与实际上30分钟后还剩下0.05克染色相矛盾，故此人的胰脏不正常。

2.模型二：静脉输液问题

静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗手段。为了研究的方便，假设葡萄糖以固定的速度输入到血液中。与此同时，血液中的葡萄糖会转化为其他物质转移到其他地方，其速率与血液中的葡萄糖含量成正比。那么，血液中葡萄糖的含量与输液时间之间存在什么关系呢？

解：设G（t）为t时刻血液中的葡萄糖含量，葡萄糖的输入数率为a克/每分钟。

因为血液中葡萄糖含量的变化率■等于增加速率与减少速率之差，增加速率为常数a，减少速率为kG（t），其中k为比例常数。所以

■=a-kG（t）（2）

这是一个一阶线性微分方程，其通解为

G（t）=e■[C+？蘩ae■dt]=e■[C+■e■]=Ce■+■

若最初血液中的葡萄糖含量用G（0）表示，则有

G（0）=C+■，即C=G（0）-■

这样便得到血液中葡萄糖的含量与时间的关系：

G（t）=■+[G（0）-■]e■

三、结语

除了上面列举的模型之外，还有很多的医学模型可以用微分方程解决，例如血管中血液的流速问题、人体的主动脉脉压、肿瘤生长的数学模型等。随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，常微分方程作为数学分析的一个活跃的分支，应用的领域越来越广泛，相关的数学内容越来越丰富。我们要充分发挥常微分解决实际问题的潜力，让科学更好地为人类服务。

参考文献：

[1]周义仓，勒祯，秦军林.常微分方程及其应用[M].北京：科技出版社，2003.

[2]肖勇.常微分方程在数学建模中的应用[J].荆楚理工学院学报，2009，24（11）：50.