函 数 f（x）=x+■（k>0） 的 最 值 及 应 用

陈俊杰

函数f（x）=x+■（k>0） 在高中数学中有着非常广泛的应用.本文就函数f（x）=x+■（k>0）的图像，性质，以及其在三角函数等方面的应用进行了探讨，这对于训练高中生的归纳和转化思想有一定的意义.

一般地，函数f（x）=x+■（k>0） 的图像如下图所示.

1. 当x>0时，在区间（0，■]上是减函数；在区间[■，+∞）上是增函数.在x=■时，有最小值2■.当且仅当x=■，即x=■时，f（x） ■=2■.

2. 当x<0时，在区间（-∞， ■]上是增函数；在区间[-■，0）上是减函数.在x=-■时，有最小值-2■.当且仅当x=■，即x=-■时，f（x） ■=-2■.

3. 当x>0时

① 若x∈（0，m]，当m<■时，则f（x） ■=■；当m>■时，则f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），当m<■时，则f（x） ■=2■；当m>■时，则f（x） ■=■.

4. 当x<0时

① 若x∈（-∞，m]，当m<-■时，则f（x） ■=■；当m>-■时，则f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），当m<-■时，则f（x） ■=-2■；当m>-■时，则f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：当x>0时，y=x+■有最小值，当且仅当x=■时，即x=1时，y■=2；当x<0时，y=x+■有最大值，当且仅当x=■时，即x=-1时，y■=-2.

解：当x>0时，且x=■时，即x=1时，y■=f（1）=2；当x<0时，且仅当x=■时，即x=-1时，y■=f（-1）=-2.

例2：求y=■的最值

分析：∵■=■=■+■，且■≥■>0，故当且仅当■=■，即x=±1时，有最小值2■.

解：方法1： ∵■=■=■+■，且■≥■>0，∴■=■，即x=±1时，y■=f（±1）=2■.

方法2：∵■=■=■+■，令■=t（t≥■），∴y=■+t（t≥■），当■=t，即t=■时，当t∈[■， ■]时，f（t）是单调减函数.当t∈[■，+∞]时，f（t）是单调增函数.故当■=t，即t=■时，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：拟造一底面积为64平方米，底面为矩形，高为2米的长方体水箱.由于受到空间的限制，底面的长、宽都不能超过10米若造价是每平方米20元（铁皮的厚度不计）.求解下列问题：

① 试设计水箱的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.

② 若水箱被隔成七个体积相等的长方体，求出最低造价.

解：①设水箱的底面长为x米，则宽为■米，又设总造价为y■元，则y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

∵x>0，∴当且仅当x=■，即x=8时，y■=f（8）=3840.

又0

∵8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是单调减函数，在[8，10]上是单调增函数，∴y■=f（8）=3840，当水箱的长和宽都是8米时，造价最低，且最低造价是3840元.

②设水箱的底面长为x米，则宽为■米，又设总造价为y■元，则y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.当x=■时，即x=16时，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，∵y=x+■在[6.4，10]上是单调减函数，在[6.4，16）上亦为单调减函数.

∴y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，当y■=5408时，x=10，■=6.4.故水箱的长为10米，宽为6.4米时造价最低，且最低造价为5408元.

参考文献：

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[5]曹文喜.求函数最值看四招.考试（高考·试题设计版），2011（12）.

[6]王晓东.求函数最值的几种方法.内江科技，2008（01）.

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