函数中比较大小问题

张艳

函数中有一类常见的题型——比较大小，下面结合2014年江苏高考数学第19题总结这类题的常见解法，探究这类题的解题规律.

引例：（2014年江苏第19题）已知函数f（x）=e■+e■，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e■+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在x■∈[1，+∞），使得f（x■）

为了解决这个题，先研究以下几个简单的问题：

例1：（2013江苏第21题）已知：a≥b>0，求证：2a■-b■≥2ab■-a■b.

证明：∵2a■-b■-2ab■+a■b=（2a■-2ab■）+（a■b-b■）=2a（a■-b■）+b（a■-b■）

=（a■-b■）（2a+b）=（a+b）（a-b）（2a+b）

又∵a≥b>0，∴a+b>0，a-b≥0，2a+b≥0

∴（a+b）（a-b）（2a+b）≥0

∴2a■-b■-2ab■+a■b≥0

∴2a■-b■≥2ab■-a■b

总结：本题采用的是作差的方法，作差是比较大小最常见的一种方法，特别是有关多项式大小关系问题常用此法.作差后和0比较大小，所以最好将其分解便于判断符号.对于正数，涉及幂的有时可考虑作商.

例2：（2009年江苏10）.已知a=■，函数f（x）=a■，若实数m，n满足f（m）>f（n），则m，n的大小关系为？摇 ？摇.

解：∵a=■∈（0，1），∴函数f（x）=a■在R上递减.

由f（m）>f（n）得m

总结：本题利用函数的单调性，比较大小是函数的单调性重要应用之一，特别是指数函数、对数函数、幂函数中的比较大小问题.

例3：已知a=5log■■，b=5log■■，c=■log■■，则a，b，c的大小关系是？摇 ？摇.

解：∵log■■>log■■=1，且■<3.4

∴log■■

∵log■■1

∴log■■

∴log■■>log■■>log■■

∵y=5■为增函数，∴5log■■>5log■■>5log■■

即5log■■>5log■■>5log■■，故a>c>b.

总结：如果不好直接比较大小，则可以间接比较，中间量便是其中一种重要的方法，常以0，1，-1为中间量.

例4：（1983年全国）已知a，b为实数，并且eb■.

证明：当eb■，只要证blna>alnb，即只要证■>■.

考虑函数y=■（x>0），因为当x>e时，y′=■<0，所以函数y=■在（e，+∞）内是减函数.

因为e■，即得a■>b■.

总结：通过作差，转化为函数的最值问题，也是比较大小的一种重要方法.

有了上面的基础现在再研究2014年高考第19题.

解：（1）、（2）问此处省略

（3）f′（x）=e■-e■，当x>1时f′（x）>0，∴f（x）在（1，+∞）上单调增.

令h（x）=a（-x■+3x），h′（x）=-3ax（x-1）

∵a>0，x>1，∴h′（x）<0，即h（x）在x∈（1，+∞）上单调减.

∵存在x■∈[1，+∞），使得f（x■）

∴f（1）=e+■<2a，即a>■（e+■）

∵ln■=lna■-lne■=（e-1）lna-a+1

设m（a）=（e-1）lna-a+1，则m′（a）=■-1=■，a>■（e+■）

当■（e+■）0，m（a）单调增；

当a>e-1时，m′（a）<0，m（a）单调减.

因此m（a）至多有两个零点，而m（1）=m（e）=0

∴当a>e时，m（a）<0，a■

当■（e+■）e■；

当a=e时，m（a）=0，a■=e■.

函数中比较大小是一种常见题型.本讲通过四道例题一道引例总结了比较大小的四种常见方法：作差、利用函数单调性、中间量、构造函数.