浅谈数学建模

詹恒 张东起

摘 要： 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，是实际事物的一种数学简化。到了21世纪，数学已经成为一种能够普遍实施的技术，应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，而数学建模是联系数学与实际问题的桥梁。本文简单介绍了数学建模的基本概念，以及数学建模的一些应用领域。

关键词： 数学建模 概念 背景 过程 应用

1.关于数学模型概念的引入

在美国中西部的一个小镇上住着一位退休的铁路工程师W.Johnson。他工作了大半辈子的那条铁路线正好穿过这个小镇。Johnson患有失眠症，退休后，这位老工程师经常会在夜里的某个奇数点时间（但不固定）醒来，且再也不能入睡。后来他发现了一个治疗失眠的方法：每当他醒来后，他就沿着小镇上的那条寂静的街道步行，一直走到与铁路的交叉点。他站在那儿，一直等到有一列火车开过来。火车的吼叫声撕破了宁静的夜空，这一情景使这一位老工程师心情舒畅。然后他走回家，很快就能睡着。

过了一段时间，他意外地发现，他所看到的火车大都是向一个方向的，而他清楚地记得，这条干线上的火车向东和向西的次数是一样的。后来他又观察了一个星期，并且把看到的结果都用一个小本记下来，结果还是一样。这时他想：是否由于自己每天都在同一个时间起来？于是，他让一个朋友给他拟了一个长长的随机时间表，结果还是一样，和他开始看到的情形差不多。并且，他询问了火车站，是否有些火车改线了，回答是否定的。这一奇怪的现象使这位老工程师很沮丧，而后完全失眠，身体越发虚弱。

在现实生活中存在一些事情，它们的发生与否并不取决于人们的主观意愿。那么在客观世界，有大量的问题就必须通过建立数学模型解决。

2.数学建模的概念

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程被称为数学建模。

3.数学建模的背景

数学作为人类的一种知识体系，它的产生与发展从来都是与人类的社会生产活动密切联系的。几何学的知识来源于丈量土地、水利建设、房屋与陵墓的建筑施工，器皿与工具的制作；算术的知识来源于产品的生产、储备、分配、交换与流通等社会实践，这是众所周知的。在运用数学知识解决一个个具体的实际问题时，首要的一步是要把问题所涉及的各种物理量及各个物理量之间的关系暂时地剥离去它们的物理含义，转换成数学的量及数学符号、语言、表达式，通过数学的推理、演算得到结果，然后再结合原来的物理含义，得出实际问题的答案。这是简单的数学建模过程。

20世纪中期至今，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。数学与计算机技术的结合在很多方面直接为社会创造了价值，数学的应用在很多情况下，都要借助数学模型解决。因此，数学建模显得尤为重要。而且数学应用中的数学建模是培养学生学数学、用数学意识的良好素材。通过数学建模的教学，可以有效提高学生的数学素质和能力。国外很多国家对于数学教育尤其重视，像一些西方国家的大学在二十世纪六、七十年代开设《数学建模》课程，我国则在80年代初将《数学建模》引入课堂。我国全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，由79所院校的314队参加，每年一届，目前已成为全国高校最大规模的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。

4.数学建模的过程

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言描述问题。⑵模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。⑶模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）⑷模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。⑸模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。⑹模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释；如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。⑺模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

建立的数学模型要具有以下特点：①逼真性与可行性结合。过于逼真，数学模型后期难以处理；过于简单，模型不能反映问题的实质；②渐近性。由简到繁，逐步达到目的；③稳定性。指对原始数据的相对稳定性，因为原始数据一般都有一定的误差，所以不稳定则无实际意义；④非预测性。任何具体问题都有它的特点，无法预测；⑤条理性。通过建模可以使人们对实际问题的认识更深刻、更全面、更条理（如田忌赛马，应急设施，核竞赛等）；⑥可转移性；⑦技艺性。无规可循，是一门艺术；⑧局限性。计算机下棋，乱走能赢。中医诊断，模拟难。

模型的分类：（1）按应用领域分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、水资源模型等；（2）按所用数学方法分：初等模型（包括微分、差分模型）、概率模型、方程模型、几何模型、图论模型、规划模型、回归模型、优化模型、统筹模型等；（3）按表现特性分：确定型；随机型；静态、动态模型；线性、非线性等；（4）按目的分：描述模型、分析模型、预测模型、优化模型等；（5）按了解程度分：白箱（力学、电学、热学）；灰箱（生态、气象、经济、交通等）；黑箱（生命科学、社会科学）。

5.数学建模的一些应用

这里我只是大概地概述一下，数学建模的应用领域可以说非常广泛，比如：（1）稳定的椅子：四条腿的椅子能否放稳当？（2）哥尼斯堡七桥问题，哥尼斯堡那里有一条河，称为普雷格尔河，河上有七座桥。当地人们试图沿河上每一座桥走一遍，且每一座桥只走一次再返回原出发地，但没有人能够成功；（3）迷宫问题；（4）朝鲜战争：战争开始一年后，美国三德公司的数学家给出的研究报告指出，中国将出兵韩国，从而预示着美国的侵朝战争必败；（5）天文学：冥王星、海王家跳槽金融，将引发金融革命，等等。

数学建模在如今的数学应用上起着重要的作用，国家应该重视中学生对数学建模兴趣的培养和学习工作，学习数学建模应当从中学生开始抓起。

参考文献：

[1]陈汝栋，于延荣.数学模型与数学建模.“第二版”.

[2]姜启源.数学模型（第二版）.高等教育出版社.

[3]朱道元.数学建模案例精选.科学出版社.