借“题”发挥 有效拓展

张明军 顾伟民

随着第二轮课程改革的深入，拓展性课程的开发也越来越受到学校与教师的重视，它的数学教育价值也越来越受到一线教师的肯定。对此，笔者执教了“韩信分油”一课，进行了一次拓展性内容的课堂教学尝试，具体执教思路有以下几个方面。

一、选材，凿凿有据

为什么要选择“韩信分油”作为拓展性教学内容呢？在选课开始，笔者就考虑教学的内容一定要源于教材，于是将目光投向教材的“边角料”。人教版五上教材第10页有一道思考题，题目是：有两个水桶，小水桶能盛水4千克，大水桶能盛水11千克。不用秤称，应该怎样使用两个水桶盛出5千克水？笔者通过分析与实践，发现此题在培养学生模型思想、发展抽象思维、提升有序思考能力方面有很高的价值。那如何包装一下呢？

近几期的前沿数学杂志都在探讨数学史对于数学教学的意义。特别是数学历史名题，有利于营造一种探索与研究的课堂气氛，激发学习兴趣，极大地调动学习的积极性，从而完成其蕴含的数学方法的传授、思想方法的渗透。

因此，笔者又将目光聚焦在古代的经典趣题上。数学史上最早记载的有关分油问题的是16世纪意大利数学家冯坦那提出的：有8斤香油一瓶，想从中倒出4斤，但没有4斤的容器，仅有一个5斤装、一个3斤装的空油瓶，问如何倒，仅用这两个油瓶从8斤的瓶中倒出4斤油？

正好我国也有这样一个流传已久，被称作“韩信分油”的算术游戏：“3斤葫芦、7斤罐、10斤油篓分一半”，就是利用3斤、7斤和10斤这样三种容器来分出两个5斤。因此，便有“韩信分油”这一教学内容。

二、拓展，各有所得

对于五上教材中本内容的设计意图，教参说明如下：要求学生应用图示、想象等模拟操作方法，解决问题，是对学有余力的学生提供的思维训练。 教材的定位是“就题论题”，多数一线教师对于本内容的教学也仅仅停留于此。但源于历史名题的这一内容，其蕴含的数学思想、数学方法，真的让人无法割舍。因此，笔者想立足教材，“借题发挥”一下，通过“韩信分油”的教学，激发学生数学学习的热情，重点培养学生的模型思想，发展抽象思维的能力。

那么，拓展的对象该如何确定？是按教参所说面向学有余力的学生，还是面向全体？经过激烈的思想斗争，最终觉得还是面向全体的意义更大。华师大钟启泉教授在《静悄悄的课堂革命》报告中也提出，第八次课程改革的理念：为了中华民族的伟大复兴，为了每位学生的发展。我们无法剥夺孩子的学习权。

因此，本次拓展性教学要让不同的孩子有不同的收获与发展。要让部分孩子感受数学文化的魅力，激发学习数学的兴趣;也要让部分孩子经历生活问题“数学化”的过程，为学生的后续发展积累一定的数学活动经验;更要让尽量多的孩子优化思维，学会用表格法与算式来解决“分油问题”，发展模型思想。

三、分油，分出智慧

和所有教师一样，刚开始对“韩信分油”的分法有一点茫然，没有目标感，只是机械地往下分，直到分出5斤为止。如果仅仅是这样，经典题所具有的数学的魅力、蕴含的优秀数学思想如何体现？教师尚且如此，学生势必更加混沌。

因此，必须要深入思考分油问题的数学本质。通过分析，分油问题可以借助模型7A-3B=5或3B-7A=5来解决：即几个7和几个3的差（或几个3与几个7的差）可以得到5。这可以为学生提供分油的策略、思路。余下的只要借助表格法来实施具体的分油过程即可。

由此可见，教学中需要突破的就是引导学生尝试用算式模型勾画分油思路，再借助表格法进行描述、验证。所以要精心设计教学流程，让分油的过程具有方向性、简洁性。使学生学习韩信分油，分出智慧！

第一步：尝试着分

客观地说，韩信分油对于学生有较大的挑战性。所以故事引入后，引导学生难的不会就想简单的，体现由易及难的思想。并巧妙借鉴冯坦那的分油问题里的数据，出示小河边有容量分别为5升和3升的两个空桶，你能获得几升的水？有的说5+3=8升，有的说5-3=2升，还有的说能得到1升。这一过程看似随意，实则是让学生借助已有的经验，思考、经历简单的模拟分的过程，获得一定的体验。有了初步的尝试，学生就有话能说。

第二步：比较着分

要求学生尝试用简洁、明了的方式记录自己的模拟操作获得1升的过程。根据学生最典型的三种记录方式：文字描述法、图示法和简易表格式。引导学生分析比较，感受表格法的简洁，完成对学生抽象思维的优化。并在此基础上再现表格记录全过程，力争简洁、规范、有序。至此，通过比较，大部分学生对于表格法记录应该说已经比较清楚。但不能只满足于此，要求学生再次观察表格记录的操作过程，用一个更简单的算式来概括，引领学生从表格到算式，再从算式回到表格，从具体到概括，从算式到意义，让学生体会到了数学的简洁美，感受算式模型的魅力。

第三步：模仿着分

刚才是3升桶取水，5升桶倒水。现在要求学生用5升桶取水，3升桶倒水，合理迁移，合情模仿。允许一部分学生选用算式想象着分，一部分学生选用表格具体地模拟着分，但无论哪一种方式分，都能做出合理的解释。当然，反馈的过程中要表扬既选择算式又用表格法的同学。因为，这是为下一环节铺垫。

第四步：有序地分

如果取水4升，可以怎么思考？这样的安排原因有三：①能力强的孩子会在前面1升的基础上再取一次3升即可;②相信大多数学生会选择重头来过，通过追问一句“你先想到算式还是表格”，来引导学生先思考再验证;③顺便解决16世纪意大利数学家冯坦那的“分油问题”。前两种都侧重于算式与表格的相互说明，引导学生有序分油。

第五步：灵活地分

学到这里，学生会借助5升桶和3升桶倒出1升和4升水的。这与韩信分油到底有怎样的联系与区别？抓住这一要点鼓励学生自己去观察分析。学生说现在有3个容器。师追问：那刚才呢？立马会有学生说，刚才也是3个容器，可以把池子看作是一个很大的容器。让学生明白其实这个篓子相当于刚才题目中的池子，倒来倒去时可以忽略10斤篓这一容器，主要目标是空着的7斤罐和3斤葫芦就行。分析到这里，学生一下子释然了，感觉有劲了，自然会灵活地分油了。

对于拓展性课程的教学，拓展的对象要面向全体，实现不同层次的发展;选材，要面向教材，巧妙借助数学名题来激发学生的学习兴趣，渗透数学思想;教学，要抓住数学本质，精心设计，才能使拓展走向实效。

（浙江省余姚市东风小学教育集团   315400）