探寻数学魅力提升学生学力

2015-09-10王应标

江苏教育·中学教学版 2015年8期

关键词：学力实践数学

【摘要】本文从文化价值、社会价值、教育价值三方面来认识数学的价值，探讨了“学力”的概念，结合“杏坛杯”活动的优秀课例，对如何在实践中培养学生的“学力”进行了思考。

【关键词】学科价值;数学;学力;实践

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）30-0046-04

【作者简介】王应标，江苏省清江中学（江苏淮安，223001）副校长，江苏省数学特级教师，正高级教师。

2015年江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动的主题是：发现学科价值，发展学生学力。本文将结合展评活动的主题和南京市第一中学王伟老师的课堂教学，谈一些感悟和思考。

一、充分认识数学的价值

数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语），是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。既然是一门科学，它就包括数学知识（理论、方法、问题、语言等）、数学活动（抽象、推理、数学化等），以及数学社会建制（研究范式、数学共同体等）。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识，数学的对象必须是明确无误的概念，作为推理出发点的命题必须明确、清晰，推理过程的每一步骤都必须明确可靠，整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。

1.数学的文化价值。

它是指数学对于自然科学、社会科学等其他学科发展的作用和意义。马克思曾指出：所有的科学，只有当数学运用其中时，才称得上是完善的。这一论断已被科学的发展所证实。自然科学作为“关于自然现象的有条理的知识”，作为“对于表达自然现象的各种概念之间的关系的理性研究”，数学为此提供了不可或缺的方法、语言、基础。同样，社会科学的数学化至少包括以下几个方面：“一是在研究方法和手段上，能够成功应用数学理论和数学方法;二是在认识和思维方式上，更多地采用数学的观点和数学的态度去审视各种社会现象，考察社会问题，揭示社会科学研究对象的本质;三是社会科学研究应从数学及其相关研究，特别是数学哲学、数学文化中汲取有益的养料，这主要是社会科学思想的数学化;四是社会科学的数学化并不排斥、拒绝或替代必要的定性研究，而是与之有机地结合起来。”[1]

2.数学的社会价值。

它是指数学对于社会生产、社会生活、社会发展和人类进步的作用和意义。现代社会的发展显示，高新技术不仅是国家富强的关键因素，也是保持国家竞争力的关键因素，而高新技术的基础是应用科学，应用科学的基础又是数学。X射线计算机层析摄影仪（简称CT）的问世是上世纪医学中的奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但能否通过测量到的X射线平均值求出整个衰减系统的分布呢？人们利用数学中的Radon变换解决了此问题，Radon变换已成为CT理论的核心。人们曾经形容数学在军事中的应用：第一次世界大战是化学战（火药），第二次世界大战是物理战（原子弹），海湾战争是数学战。数学在以计算机为代表的信息文明时代，对社会发展的深层次动力越来越强大。

3.数学的教育价值。

它是指数学对于人的生存与发展的作用和意义。这里可以分为人的谋生价值与发展价值，其中人的发展主要是指人的理性发展。一方面，由于数学在社会生活和社会生产中的广泛应用，人要生存，并且要提高生存质量，必须学会用数学解决各种各样的实际问题，也就是数学的实用价值;另一方面，从数学的产生和发展中可以看到，数学对于人的发展，尤其是人的理性发展，具有重大的影响。[2]《几何原本》被称为“数学家的圣经”，已经成为训练逻辑推理的最有力的教育手段，在数学史乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位，它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些重要的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神。“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活。但，数学能给予以上的一切。”德国数学家F·克莱因道出了数学的教育价值。

二、对“学力”概念的理解

“学力”即学习者的学习实力，是有关学习者的学习素质的综合性概念。日本的“学力”研究已有近70年的历史，我国学者钟启泉等在1997年也对“学力”进行了研究。“学力”一般被视为“通过学校里的学习而获得的能力”或“以学业能力为表征的学力”。

1.“学力”的一般内涵。

在古汉语中，“学力”大概有以下三种涵义：学问的力量，学习的能力，学问的效力。而在现代汉语中，“学力”的涵义被窄化为“学习能力”。钟启泉先生认为，学力是作为教学成果的知识与能力，大体有四个组成部分：关心、动机、态度，思考力、判断力，技能，知识、理解。袁运开先生认为：学力为通过后天学习和实践获得的态度、能力和知识的集合，学力的养成包括积极态度的培养，学习能力、理解能力、提出问题和解决问题的能力的培养，社会适应能力的提高，以及知识的积累等。还有人认为，学力是指一个人在学问上达到的程度，包括认知、情感、技能三要素。[3]

日本的国语词典《广辞苑》里也有对“学力”的解释：一是指学问的力量;二是指因学习而获得的能力或作为学习成绩表现出来的能力。这和我国古汉语中“学力”的涵义相似。日本从二战后至今已有近70年的“学力”研究历史，有关学生学力低下的论争始终是日本各个时期的教育概念转变与教育改革的导火线。“学力”是日本教育研究的主题概念，但始终没有形成一个公认的、统一的概念，其主要原因是随着时代和社会的变迁，人们对“学力”的涵义的理解也随之发生变化。[4]

上世纪80年代初期，日本中央教育审议会针对教育现状，反思二战后偏重基础知识学习的传统学力观，明确提出学校教育的目标应该充分尊重学生的个性与创造性的发展，即重视个性和创造性的“新学力观”。日本文部省通过2005年《创造新时代的义务教育》报告、2006年《审议阶段报告》、2008年修改发布的《学习指导要领》，对“生存能力”和“扎实的学力观”的内涵作出了渐变的修改。“扎实的学力”观点可以看成“新学力观”的延续和发展。

2.数学学科的“学力”内涵。

数学学科的“学力”是指因数学学习而获得的能力或作为学习成绩表现出来的能力。借鉴日本“扎实的学力”观点，数学学科的“学力”分成三个部分：基础知识和技能，主动学习的态度，数学学科的核心能力。数学学科的核心能力主要是指：从数学角度提出问题，数学表征与变换，数学推理与论证，数学建模，数学地解决问题，数学交流。《普通高中数学课程标准（实验）》指出：数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。从某种意义上说，这也可以看成对数学学科学力的一种解读。

三、“杏坛杯”活动中的课堂实践

1.教学过程的呈现与亮点。

王伟老师参赛的课题是《二项式定理》，它是学生学习了计数原理后，对排列组合知识的相关应用。本节课将“类比引领、问题驱动、自主探究”作为教学设计的核心思想。

在“创设情境，激发兴趣”环节，王伟老师通过两次“有放回的摸球”，引导学生将摸球的结果和二项展开式建立内在的逻辑联系，引发和强化学生主动探究的欲望。王老师设置的“有放回的摸球”问题情境，对于学生来说是亲切熟悉的，因为它来源于学生的生活，这一情境启发学生在游戏和新知识之间建立本质联系，更为以后学习随机变量及其概率分布中的二项分布做铺垫，体现了教师良好的数学教育素养。

在“类比引领，问题驱动”环节，王老师通过三次“有放回的摸球”，引导学生深入讨论（a+b）3的展开式与摸球结果的联系，学生之间展开数学交流，其中生3通过自己的思考提出了数学问题，生4给予了恰当的回应，学生有一定的时间和空间相互切磋，学生的“说理”论证得到充分的展示，在二项展开式和摸球游戏的两个模型之间建立了本质联系。

在“自主探究，形成定理”环节，由于之前的“脚手架”效应，学生从特殊到一般得出二项展开式，重点对通项形式进行探究，进而得到了二项式定理，学生数学地解决了本节课的问题。整个过程自然流畅，水到渠成，体现了教师对学生学习过程的理解和驾驭能力。

在“新知运用，巩固深化”环节，例题的选择源于书本，例1和例2都是书本原有的例题。例1是二项式定理的直接应用及简单变形应用，通过该例强化了学生对公式的记忆和理解。例2的目的是让学生进一步掌握二项展开式的通项，区分二项式系数和项的系数的区别。从知识角度分析，这是本节课的难点。例题的选择则高于课本，例3的第一种解法是二项式定理的变式应用，需要学生有一定的数学变换能力，例3的第二种解法是类比（a+b）n的推导过程，是对二项展开式通项公式的本质理解。

问题是科学思维的起点。在教学过程中，王伟老师以问题为中心，进行创造性教学。以问题驱动教学过程的各个环节，不断通过问题激发学生主动探究学习的热情。这样就使学生的学习成为自主探究、自主发现和自主创造数学的过程。在本节课的教学过程中，对于每一个问题，王老师都是让学生通过独立思考或合作交流解决。学生在学习过程的始终，都能积极参与学习活动，积极思考问题，主动探求问题的答案。

2.对初始情境的进一步探讨。

“二项式定理”是数学选修2-3第一章第1.3节第一课时的教学内容。其形成过程是组合形式的应用，同时也是自成体系的知识块。二项展开式与多项式乘法有密切的联系。

2.1从多项式乘以多项式运算探源二项式定理

多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。由多项式乘以多项式法则可以得到（a1+a2+a3）（b1+b2）（c1+c2+c3+c4）展开式共有3×2×4项，即从第一个括号内任取一项乘以第二个括号中的一项再乘以第三个括号内的一项得到结果中的一项。再体会（a+b）2、（a+b）3结果中项的形成过程，进一步把（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）展开过程分成三个步骤：①不合并同类项共有多少项？②合并后各项应为什么？③如何得到每一项的系数？最后推广至（a+b）n。

2.2从实际问题应用探源二项式定理

在解决实际问题的过程中也能获得二项式定理展开式的灵感。例如：

问题1：4个袋中有红球a、白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？在4个袋子中，

这恰是（a+b）4的展开式。进一步推广到（a+b）n。

问题2：桶里有大小相同、质地相同的a、b两小球，有放回地取4次，有几种不同的取法？

与问题1解法类似。

问题3：某城市的街道纵横织成方格网，行人只能在街道上行走，方向规定朝东或朝南前行，某同学欲从A处前往B处，有多少种走法？

可以从简单的问题研究起：

将其绕A点顺时针旋转45°，观察新的方网格图，发现恰是二项展开式的各项系数排列（杨辉三角）。

2.3从推理思维方面探源二项式定理

类比推理和归纳推理是数学中经常采用的两种思维方式，在研究二项式定理时，从（a+b）1、（a+b）2、（a+b）3的展开式出发不仅可以归纳出一般的结论，而且在计算中可以感受到一般结果是如何形成的。

（a+b）1=a+b，