二维抛物型偏微分方程初边值问题的解法分析

张正林

(宿州学院)

0 引言

从牛顿时代起，物理问题的研究就成为数学发展的一个重要源泉.18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程，对于偏微分方程也进行了初步的研究，如弦振动方程、波动方程、位势方程.随着物理科学所研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到了19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心，如1882年，基尔霍夫(德，1824—1887年)完成了3维波动方程的求解.傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了“傅里叶积分”，极大地推动了偏微分方程边值问题的研究.此外，他是傅里叶定律的创始人，在代表作《热的解析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪的理论物理学的发展产生深远影响.该文研究抛物型方程的有限差分方法，从二维常系数线性抛物型方程的差分方法进行讨论，给出几种典型的差分格式并讨论其稳定性与收敛性等性质，对变系数以及多维抛物型方程也进行了研究.

1 二维抛物型偏微分方程概述

在研究热传导过程、气体膨胀过程和电磁场的传播等问题时，常常遇到抛物型偏微分方程.这类问题的自变量中，有一个是实际问题中的时间变量，常用t表示.所以抛物方程通常描述的是随时间变化的物理过程，即所谓不定常的物理过程.抛物方程的定解问题有三类，即纯初值问题、半无界域上的初边值问题和有界域上的初边值问题.

偏微分方程按是否与时间有关可分成两类.讨论的椭圆型方程通常用于描述不随时间t变化的稳态物理现象，如温度、电位等，这类问题称为驻定问题.而抛物型方程和双曲型方程用于描述随时间t变化的非定常物理现象，这类问题称为非驻定问题.驻定问题可看成非驻定问题当t→∞时的渐近状态.在研究偏微分方程的数值解法时，注意这两类问题的区别和联系是有益的.

2 二维抛物型偏微分方程初边值问题分析

考虑如下二维抛物方程的差分格式.

取空间步长h=l/N，时间步长τ＞0.作两族平行与坐标轴的网线x=xj=jh，y=yk=kh，其中j，k=0，1，…，N，将矩形区域(0，l)×(0，l)分割成N2个小矩形.记unjk为网格节点(xj，yk，tn)上的差分解.

前述各种一维差分格式都可以直接用于以(3a)、(3b)为代表的二维以至更高维的抛物方程.例如，向前差分格式成为

实际计算时，先令n=0，利用已知的φ(xj，yk)等，对j，k=1，…，N–1，用(2)算出u1jk.而由边值条件，补充得到0.下一步，令n=1，利用已知的第1层的差分解{u1jk}类似地算出第2层的差分解{u1jk}.以此类推，直到

3 二维抛物型偏微分方程初边值问题的解法

用六点对称差分格式，ADI法，预校法和LOD法求解二维抛物型方程的初边值问题:

设xj=jh(j=0，1，…，J)，yk=kh(k=0，1，…，K)，tn=nt(n=0，1，…，N)，差分解为，则边值条件为

下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式(局部一维格式)就是其中一例.

其中

LOD格式的计算步骤可以总结如下:

(1)令n=0，k=1.

(3)若k＜N，则k增加1，转步骤(4).否则转(4).

(4)令j=1.

(6)若j＜N，则j增加1，转步骤(5).否则转(7).

(7)若n＜T/τ，则n增加1，转步骤(2).否则结束.

若时间方向用向前差商，空间方向用线性有限元，并记fk=f(x，kτ)，则有限元方程为:对k=1，…，K=T/τ，逐层求Vh满足

这相当于在每一层要解一个线性方程组:

或者稍微整理一下:

如果在时间方向用梯形公式，则类似于(3a)(3b)得到所谓Crank－Nicolson格式:

4 结束语

相容性是二维抛物型偏微分方程差分方法中一个非常基本的概念，它对差分格式的收敛性会有影响，一般来说，要用差分格式求解二维抛物型偏微分方程问题，相容性条件必须满足，可以看出，建立的差分格式都是相容的差分格式.

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