二线相交 解题有奇招

左效平

两个一次函数相交，演绎精彩无限的考题，面对二线相交，解题也有奇招，写下来共分享.

1 二线相交，根据交点位置，探求内含字母的取值

例1 （2014年江西）直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.2

分析 两直线相交，由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组有解，解出关于x、y的二元一次方程组，根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解，最后逐一验证在范围内的即为所求.

解 根据题意，两直线有交点，得y=x+1，

y=-2x+a， 解得：x=a-13，

y=a+23.

因为两直线的交点在第一象限，所以a-13>0，

a+23>0，解得a>1，所以符合条件的数是2，所以选D.

点评 联立两函数解析式构造二元一次方程组是求交点坐标的常用方法，要熟练掌握并灵活运用.熟记象限的符号特点，准确转化成不等式组是解题的关键.

2 二线相交，根据交点的横坐标，确定不等式的解集

图1例2 （2014年荆门）如图1，直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b>kx-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）.

分析 观察函数图象得到当x>-1时，函数y=x+b的图象都在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+b>kx-1的解集为x>-1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断.

解 当x>-1时，x+b>kx-1，即不等式x+b>kx-1的解集为x>-1.所以选A.

点评 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

3 二线相交，已知交点的坐标，根据三角形的面积，探求线段的差

例3 （2014年株洲）直线y=k1x+b1（k1>0）与y=k2x+b2（k2<0）相交于点（-2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1-b2等于 .

分析 交点的横坐标的绝对值是三角形的高，直线与y轴的交点的纵坐标差是三角形的底边，利用三角形的面积公式代入计算即可.

图2解 如图2，直线y=k1x+b1（k1>0）与y轴交于B点，所以点B的坐标为（0，b1），直线y=k2x+b2（k2<0）与y轴交于C，所以点C的坐标为（0，b2），所以BC=b1-b2，因为直线y=k1x+b1（k1>0）与y=k2x+b2（k2<0）相交于点（-2，0），所以OA=2，因为△ABC的面积为4，所以12×OA×BC=12×2×（b1-b2）=4，所以b1-b2=4.所以应该填4.

点评 解题时，注意两点，一是用坐标的绝对值表示线段的长；二是共线两点线段长的表示为用靠近正方向的点的纵坐标减去远离的点的纵坐标.

4 二线相交，已知交点的横坐标，正比例函数解析式，探求一次函数的解析式

例4 （2014年四川宜宾）如图3，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）

A.y=2x+3 B.y=x-3

C.y=2x-3 D.y=-x+3

分析 根据正比例函数图象确定B点坐标，再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式即可求出.

图3解 因为B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，所以y=2×1=2，所以B（1，2），设一次函数解析式为：y=kx+b，因为一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），所以得到方程组b=3，

k+b=2， 解得b=3，

k=-1， 所以一次函数的解析式为y=-x+3，所以选D.

点评 解题时，把握好两点，一是理解交点坐标的意义：交点的坐标同时满足两个函数的解析式；二是用好数形结合的思想，能从图像中找出自己需要的点的坐标，为解题补充必要的条件.

5 二线相交，利用对称，探求线段和的最小值

例5 （2014年贵州黔东南）如图4所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 .

分析 利用对称性构造出点A关于直线y=x的对称点，求出对称点的坐标，连接对称点与点B，与直线的交点就是线段和最小时的位置.

图4 图5解 如图5所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，由题意可得出：OA′=1，BO=2，PA′=PA，所以PA+PB=A′B=12+22=5所以应该填：5.

点评 利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键.

图66 二线相交，已知交点的坐标，根据三角形的面积，探求线段的差

例6 如图6，已知点A1，A2，A3，…，An，An+1是x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1，分别过A1，A2，A3，…，An，An+1向x轴作垂线，与直线y=2x的交点分别于B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，…，AnBn+1，BnAn+1，交点分别为P1，P2，P3，…，Pn，若三角形A1B1P1的面积，三角形A2B2P2的面积，AnBnPn的面积依次记作S1，S2，…，Sn，则Sn的面积为（ ）.

A.n+12n+1 B.n3n-1 C.n22n-1 D.n22n+1

分析 三角形AnBnPn的面积可以这样来表示：以AnBn为底边，Pn到AnBn的距离为高，而求高的关键是确定直线AnBn+1的解析式，直线An+1Bn的解析式，联立两个解析式的方程组就可以求得交点的坐标，交点的横坐标与n的差就是三角形的高.

解 因为OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，则An的坐标为（n，0），An+1的坐标为（n+1，0），当x=n时，y=2x=2n，所以点Bn的坐标为（n，2n），当x=n+1时，y=2x=2n+2，所以点Bn+1的坐标为（n+1，2n+2）.

设直线AnBn+1的解析式为y=kx+b，所以kn+b=0，

k（n+1）+b=2n+2，解得k=2n+2，

b=-2n2-2n，所以直线的解析式为y=（2n+2）x+（-2n2-2n）；

设直线An+1Bn的解析式为y=mx+h，所以mn+h=2n，

m（n+1）+h=0，解得m=-2n，

h=2n2+2n，所以直线的解析式为y=-2nx+（2n2+2n）；因为两直线相交，

所以y=-2nx+（2n2+2n），

y=（2n+2）x+（-2n2-2n），解得x=2n2+2n2n+1，

y=2n2+2n2n+1，所以两直线的交点坐标Pn为（2n2+2n2n+1，2n2+2n2n+1），所以三角形AnBnPn底边AnBn上的高h=2n2+2n2n+1-n=n2n+1，所以三角形AnBnPn的面积为：12×AnBn×h=12×2n×n2n+1=n22n+1.

所以选择D.

点评 利用解析式求出交点的坐标是解题的关键.