加筋板弹塑性断裂的J积分计算

王　红，杨　平，2，邓军林，董　琴

加筋板弹塑性断裂的J积分计算

王红1，杨平1，2，邓军林1，董琴1

1武汉理工大学交通学院，湖北武汉430063
2武汉理工大学高性能舰船技术教育部重点实验室，湖北武汉430063

以EPRI断裂分析方法为基础，对符合Ramberg-Osgood应力应变关系的材料，结合筋板相互影响系数，提出一个考虑材料应变硬化性能的船体加筋板弹塑性断裂的J积分计算公式，采用有限元软件ANSYS进行数值模拟，并比较理论计算结果与有限元模拟结果。结果表明：理论计算结果比较接近有限元模拟结果，表明该理论模型能较好地反映加筋板的断裂规律与加筋条的止裂性能，可直接用于加筋板在疲劳载荷作用下的理论分析，对于船体结构弹塑性断裂分析具有重要的参考价值。

J积分；加筋板；应变硬化材料；弹塑性断裂

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20150128.1201.003.html

期刊网址：www.ship-research.com

引用格式：王红，杨平，邓军林，等.加筋板弹塑性断裂的J积分计算［J］.中国舰船研究，2015，10（1）：46-50. WANG Hong，YANG Ping，DENG Junlin，et al.Elasto-plastic fracture analysis of J integration for stiffened plates［J］. Chinese Journal of Ship Research，2015，10（1）：46-50.

0　引言

近年来，随着船舶大型化的发展，船体主尺度不断增大，为减轻结构重量而采用的高强度钢越来越多，船体结构变得越来越“软”，船舶结构的应力及变形也越来越大。因此，大型船舶结构的低周疲劳断裂损伤问题显得十分突出，成为大型船舶发展中亟待解决的关键性问题。对于大型船舶而言，低周疲劳断裂对船舶结构的损伤要远大于高周疲劳损伤。

低周疲劳在疲劳断裂中占据着非常重要的地位，而在工程中遇到的低周疲劳断裂问题通常为大范围屈服断裂，且这种屈服断裂属于弹塑性断裂力学范畴，故寻找一种实用且简单有效的求解弹塑性断裂力学的方法很有必要。求解弹塑性断裂力学的常用方法有裂纹尖端张开位移（Crack Tip Opening Displacement，CTOD）法与J积分法。但到目前为止，CTOD弹塑性疲劳裂纹扩展规律的研究仍处于实验数据积累阶段，仅在实验上取得了较多的研究成果［1-2］，理论分析模型很少［3］，有限元计算模拟更少，尚不能与实验结果相吻合。而J积分法主要用于弹塑性和大范围屈服情况下材料韧度的评定，且其与应力强度因子K、能量释放率G和裂纹尖端张开位移CTOD之间均存在一定关系，可以作为中间变量求解大范围屈服断裂和全面屈服断裂问题［4-5］。因此，研究J积分法在低周疲劳裂纹扩展阶段具有十分重要的意义。此时，在大范围屈服断裂情况下，J积分理论既能够定量地表示裂纹尖端区域弹塑性应力应变场的强度，也可通过实验测定作为工程断裂问题的判据。

1　加筋板结构的J积分理论分析模型

加筋板结构是船舶与海洋工程结构中最基本的结构。但到目前为止，大量学者针对加筋板断裂性能方面的研究大多针对飞机结构中的铆接结构，且仅限于线弹性范围，更多的研究局限于裂纹板材，而对船舶焊接加筋板结构，型材含裂纹的弹塑性研究涉及较少。大量的研究结果表明，裂纹扩展驱动力与材料的应力应变性能有关［6］。本文通过理论分析，得到具有应变硬化材料特性的加筋板结构在拉伸载荷下J积分理论分析模型，并讨论其弹塑性性能。图1为带中心穿透裂纹的船舶加筋板结构的几何模型（筋条分别在板中1/4和3/4位置处）。

图1　含有中心穿透裂纹的加筋板结构几何模型Fig.1　The geometry model of stiffened plate with center through crack

1.1板材J积分理论计算模型

到目前为止，已有大量有限元计算和实验证明，20世纪80年代初美国电力研究院（EPRI）提出的弹塑性断裂评定的方法对船舶问题来说具有足够的精度［7］。本文以EPRI断裂分析方法的J积分驱动力曲线为基础，通过理论推导和分析建立宽板在拉伸载荷作用下的J积分理论分析模型。

本文做如下假设：1）船体板材为平面应力情况；2）对于裂纹尺寸与板宽比a/W较小的拉伸载荷下的宽板试样，无量纲试样形状因子Y趋近于1，而线弹性情况下裂纹尺寸a相对板宽W很小，故Y可近似取1。

本文材料（硬化材料）满足Ramberg-Osgood应力应变关系：

式中：ε，σ分别为工作应变和工作应力；εY，σY分别为材料的屈服应变和屈服应力；α为材料常数；n为材料应变硬化指数。

根据EPRI工程方法，有J积分驱动力曲线方程［8］

式中：Jp（a，n）为裂纹原始长度a和材料应变硬化指数n的J积分塑性分量；Je（ae）为根据裂纹有效长度ae协调后的J积分弹性分量，ae为考虑材料幂硬化特性，进行塑性区修正的Irwin有效裂纹长度，即

式中：ϕ为CTOD扩展驱动力；P为按单位厚度进行归一化处理后的外载荷；PY为单位厚度时的极限载荷；rY为引入材料应变硬化特性后的修正塑性区长度，即

式中：K1为应力强度因子；β为系数，平面应力情况下，β=2。

塑性区修正尺寸rY的特点为：对于符合应变硬化规律的材料，n取1～∞（当n=1时，为弹性材料，不必考虑塑性区长度的修正，即rY=0；当n→∞时，为理想弹塑性材料，rY与von Mises屈服准则定义的塑性区尺寸一致）。

在线弹性条件下，有

式中：G为能量释放率；对于平面应力情形弹性模量E′=E。

由断裂力学知，线弹性条件下，无限宽裂纹板在拉伸载荷下的应力强度因子为

将式（4）代入式（3）后，再代入式（6），最后代入式（5），可得J积分弹性分量

J积分的全塑性分量表达式为［7］

式中，h1为与a/W和n有关的系数。

综合上述理论推导，将Je和JP相加可得宽板在拉伸载荷下的J积分理论分析表达式，即

根据EPRI断裂分析方法，平面应力情况下，宽板在拉伸载荷下有

由于本文推导的是工程应用的J积分理论分析模型，因而可进行以下简化（简化是偏于安全的）：对于J积分全塑性解部分，EPRI手册仅仅给出了a/W≥0.125时h1的数据，本文a/W取值范围为0.1～0.8，故本文根据该数据，由外推法得到a/W=0.1时，h1＜5.4，取h1=5.4。

综上所述，可得宽板拉伸载荷作用下J积分的理论计算模型为

1.2加筋板结构的J积分理论计算模型

关于加筋板筋条对板强度的影响，Fujikubo等［9］提出用含有参数k的解析表达式来表示加强筋对板强度的影响系数，即

式中：tw是加强筋腹板厚度；t为带板厚度；对于不同的型材，系数η取值不同，角钢η=0.98-0.14（L/W），扁钢η=0.12-0.02（L/W），T型钢当L/W在2～3时η=0.6（L/W），当L/W在3～5时η=1-0.133（L/W），L/W为板的边长比。

加筋板拉伸载荷下J积分的理论计算式为

由此式可知，加筋板弹塑性断裂的主要影响因素有：裂纹长度、材料性能、外载荷、板主尺度、筋条类型与截面尺寸等。当材料与板主尺度一定时，J积分随裂纹长度与外载荷增加而增大，随筋条截面尺寸的增加而减小。

2　有限元数值仿真

考虑筋条对焊接加筋板结构的疲劳裂纹扩展寿命的影响，Mahmoud等［10］进行了一系列数值模拟。本文采用文献［10］的焊接加筋板结构模型，结合有限元分析软件ANSYS中的疲劳断裂分析模块对加筋板结构的J积分进行仿真计算。为了模拟裂纹尖端的奇异性，在裂尖处设置奇异单元。图2表示加筋板结构J积分仿真分析的有限元模型和裂尖网格划分图。

图2　含中心穿透裂纹的加筋板1/4有限元模型和裂尖网格划分图Fig.2　The 1/4 FE model of center through cracked stiffened plate and the crack tip mesh diagram

选取的加筋板结构几何尺寸为：长2L= 1 600 mm，宽2W=800 mm，筋条间距2S=400 mm，板厚t=5 mm。初始裂纹长度2a=80 mm。材料参数：弹性模量E=2.06×105MPa，泊松系数μ=0.3，屈服强度σY=235 MPa。图3为3点弯曲试样的J阻力曲线，ASTM E1820-1999a采用的钢材为DH40钢。图4为加筋板与光板的J阻力曲线，其中加筋板筋条选用T90×4/60×4，单位为mm。图5为选取3种不同加筋板刚度比λ=EsAs/EWt分别为0.1，0.2，0.3的J阻力曲线，筋条截面尺寸（单位：mm）分别为：T90×4/60×4，T60×4/40×4，T30×4/20×4。刚度比为筋、板的拉伸刚度比，其中Es，As分别为筋条的弹性模量与横截面积。图6为载荷—J积分曲线，其中选取裂纹长度40 mm，筋条间距80 mm，考虑到加筋板从弹性状态到弹塑性状态，外载荷范围取10～120 MPa。

图33　点弯曲试样的J阻力曲线Fig.3　The J resistance curves of three-point bending specimen

图4　加筋板与光板的J阻力曲线Fig.4　The J resistance curves of stiffened plate and plate without stiffener

图53　种刚度比下加筋板的J阻力曲线Fig.5　The J resistance curves of stiffened plate with three stiffness ratios

图6　载荷—J积分曲线Fig.6　The load-J integration curve

从图3中可以看出：本文所采用的有限元计算模型结果与已有的ASTM E1820-1999a实验模型结果吻合良好，可以验证文中有限元计算的正确性。

从图4中可以看出：

1）加筋板的理论计算结果与有限元计算结果符合良好，且理论计算值比有限元计算值大，说明此理论计算模型是偏于安全的。在本模型中，加筋板的理论计算值比光板的有限元计算值稍大。

2）从随裂纹长度变化的J积分曲线来看，加筋条的存在对裂纹板有一定的加强作用。相较于无筋条中心裂纹板，随着裂纹长度的增大，无加筋条裂纹板的J积分总是大于加筋板的J积分，表明加筋条可以提高结构的强度和刚度，具有良好的止裂性能。在筋条附近，加筋条的存在显著降低了加筋板结构的J积分，从而降低疲劳裂纹扩展速率，即在相同载荷作用下加筋板结构相对光板的疲劳裂纹扩展寿命明显增大。

3）板与加筋板2种结构的J积分曲线在裂纹初始扩展阶段较为缓慢，随着裂纹长度的增大，其扩展速率也不断增大，裂纹失稳扩展现象极有可能发生。

4）在裂纹长度与板宽比值小于0.4和大于0.6的范围内，加筋条对裂尖处J积分的影响不大，说明筋条对裂纹板的加强作用不太明显；裂纹尖端扩展到筋条附近时，裂尖处J积分明显降低，说明筋条对含裂纹板有较为显著的加强作用，以上说明筋条对裂纹尖端J积分具有一定影响。

从图5可以看出：

1）相较于无筋条中心裂纹板，随着裂纹长度的增大，加筋条对J积分的影响随着加筋板刚度比的增加而不断增大，加筋板的刚度比增加，在筋条处其J积分的下降幅度也随之增加，使得结构止裂能力增加。

2）对于裂纹长度的不同，不同刚度比加筋板表现的加强效果也不一致。裂纹尖端距离筋条稍远时，3种刚度比对应的J积分曲线比较接近，说明在此区域筋条对裂纹板的加强作用不太明显。但裂纹尖端越靠近筋条时，3种刚度比对应的J积分值区别越大，说明加筋板刚度比的增大，其抑制加筋板裂纹扩展的能力也增强，表明在筋条附近区域，加筋板的刚度比对加筋板的止裂特性有较大影响。

从图6中可以看出：

1）随着所加外载荷的不断增大，裂尖处J积分也不断增大，且初始阶段增加比较缓慢。

2）所加外载荷与J积分之间的关系呈幂次关系。

3　结论

通过对船舶加筋板结构的J积分从理论及数值方面进行分析，可得如下结论：

1）加筋条具有良好的止裂性能，且加筋板的刚度比对加筋板的止裂特性有较大影响，加筋板的刚度比增大则抑制加筋板裂纹扩展的能力增强。

2）J积分中引入筋条对板的加强系数，得到了加筋板的低周疲劳J积分模型，经验证明与工程实际情况相符。

3）本文得到的考虑应变硬化效应的加筋板J积分理论计算模型与有限元结果符合较好，接近工程实际，为低周疲劳弹塑性断裂研究提供了新的途径和方法。用EPRI提供的弹塑性评定公式，计算得到了应变疲劳裂纹扩展过程中不同裂纹长度所对应的J积分值。因而，EPRI断裂分析方法是一套行之有效的J积分计算方法。

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［责任编辑：胡文莉］

Elasto-Plastic Fracture Analysis of J Integration for Stiffened Plates

WANG Hong1，YANG Ping1，2，DENG Junlin1，DONG Qin1
1 School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China
2 Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China

Based on the EPRI method of fracture analysis and combined with the interaction coefficient of stiffeners and plates，a computational formula of J integration is proposed in this paper for the material that coincides with the Ramberg-Osgood stress-strain relationship.Meanwhile，numerical simulation is carried out with the finite element software ANSYS，whose results are compared with the data obtained from the theoretical model.It is shown that the theoretical model can be viewed as reliable，which accurately reflects the fracture behavior of the stiffened plate and the anti-crack property of stiffeners.Therefore，it can be di⁃rectly applied into the theoretical analysis of stiffened plates under fatigue loads.Overall，the results in this paper are of vital importance for the low cycle fatigue research on hull structures.

J integration；stiffened plate；strain-hardening material；elasto-plastic fracture

U661.41

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2015.01.007

2014-08-29

网络出版时间：2015-1-28 12:01

国家自然科学基金资助项目（51479153）；中央高校研究生自主创新资助项目（2014-zy-019）

王红，女，1989年生，硕士生。研究方向：船舶与海洋结构物设计制造，结构安全性与可靠性研究。E⁃mail：wanghong2011xyz@163.com

杨平（通信作者），男，1955年生，博士，教授，博士生导师。研究方向：船舶与海洋结构物设计制造，结构安全性与可靠性研究。E⁃mail：pyangwhut@163.com