关注知识纵向联系 提升数学教学内涵

叶茂恒+章勤琼

【摘 要】针对当前初中数学课堂教学中忽视知识纵向联系的现象，结合具体案例，从“引发教与学”“拓宽课堂教学”以及“深化数学学习”三方面提出如何在课堂教学中运用纵向知识联系构建“数学味”课堂，以期引起教师关注以数学知识与思想方法为核心元素的课堂教学。

【关键词】初中数学;纵向联系;引发教与学;拓宽课堂;深化学习

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）26-0011-04

【作者简介】1.叶茂恒，浙江省温州市第十七中学（浙江温州，325000）教师，中学高级教师;2.章勤琼，温州大学数学与信息科学学院（浙江温州，325035）教育学博士，南京师范大学教育科学学院博士后。

新课改以来，一方面由于教材的改编，数学学习呈螺旋式上升设计，教材的各章节之间似乎缺少了直接的联系衔接，而部分教师的教学计划缺少整体性，没有课程设计，导致数学知识前后之间失联;另一方面，新课改倡导情境教学，由于部分教师对情境教学的理解偏差，以至于教学中过于强调生活情境的设计，个别数学课堂“去数学化”现象严重。事实上，数学教学在注重与生活实际相联系的同时，不应该离开数学本质，更应当重视数学知识的发生发展，加强知识的纵向联系。具体而言，初中数学课堂教学中知识的纵向联系的运用可以从“引发教与学”“拓宽课堂教学”以及“深化数学学习”这三个方面展开，引导学生发现、总结、归纳数学知识的内在联系，从而让数学学习变得更丰富，更有内涵。

一、引发“教”与“学”

数学知识的发展，一般有两种方式：纵向数学化和横向数学化。除了来自于实际问题的抽象、建模等方式形成的数学知识外，相当一部分数学知识的发展是基于数学内部的逻辑演进的。随着课改的推进，数学教学渐渐开始关注数学的本源，认识到数学内部情境的价值与意义，关注数学知识之间的联系点，有些知识的教学，以数学知识之间的联系为契机的导入更加有“数学味”，更为突出数学本质，更为符合学生的认知规律及数学的发展规律。

（一）正向推演。

数学知识的形成往往建立在以往的数学知识基础之上，如平方差公式、完全平方公式的形成，来自于多项式的乘法法则的学习基础之上，是整式乘法演化的结果。因此在平方差的教学过程中，不一定要等积变形导入。事实上，在教学中许多学生对这节课为什么要用等积变形引出，是如何想到构造两个面积相等的图形来说明平方差公式的，很是迷茫，有种被教师牵着鼻子走的感觉。因此，对于平方差公式的教学不妨基于上节课的整式乘法应用导入，在上一节课的基础之上进一步推演数学公式或法则，善用学生已有的数学知识。如在平方差公式导入时，可以提供几个形如“（a+b）（a-b）”的算式先让学生应用整式乘法法则运算，然后引导学生思考这些运算式与结果的共性特征，以及这种特征是什么原因形成的，师生共同发现并归纳出平方差公式，并结合图形验证。这种设计似乎“平淡无奇”，然而正是因为符合数学知识的形成规律，才会显得自然，课堂教学的目的不是为了让听课教师耳目一新，而是应顺应学生的认知发展的规律。

（二）逆向回溯。

很多数学规律可以通过逆向分析，从而发现新的结论，对已有命题进行逆命题分析就是很好的数学再创造的方法。许多性质或判定定理都存在逆定理，如勾股定理、平行四边形性质定理等等，这种前后知识之间的互逆关系常是直接明了而又高效的课堂导入的依据。如在引入因式分解的教学时，先呈现两个问题：

（1）若a=1999，b=2001，请直接代入并计算下列各式的值。

①a（a+1）= ;②（a+b）（a-b）= ;③（a+1）2= 。

（2）若a=1999，b=2001，请直接代入并计算下列各式的值。

①a2+a= ;②a2-b2= ;③a2+2a+1= 。

然后思考这两问中计算结果有何联系，运算式有何联系，还可以进一步引导体会学习因式分解的必要性及其与整式乘法之间的内在联系。在整式乘法的基础之上逆向回溯，对于刚学过整式乘法的学生而言可谓水到渠成，同时也培养了学生的逆向思维能力，这种能力是学生发现问题的主要方法之一。

（三）类比生成。

一些数学知识之间存在类似性，如数的运算与代数式的运算之间存在很多类似性质，如分配律在数运算与在代数式的运算上具有一致性，此类性质的教学可以类比生成。如分式的加减运算就可以由分数的加减运算类比而来。

如在分式的运算第一课时的深入教学时，可以呈现几组同分母分数的运算式，并回顾同分母分数相加减法则，再将原分数中的字母换成含字母的整式，经过类比，学生不难发现同分母分式相加减的法则。

（四）对比差异。

一些数学知识之间具有一定的从属关系，如矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，是平行四边形的特殊化图形，其学习可以建立在平行四边形的学习基础之上。学生有了平行四边形的研究经验，可以类似于平行四边形从角、边、对角线、对称性、性质、判定等方面去研究这些特殊图形，结合特殊化的条件，经过对比研究，去发现特殊性质。如正方形一课的学习，就可以在矩形与菱形的学习基础之上进行对比差异研究。可先引导学生回顾已学过的特殊平行四边形，引导学生思考有没有比矩形与菱形更为特殊的四边形，结合矩形与菱形的定义，引导学生对正方形下定义，然后结合已有的矩形与菱形的研究方法，从角、边、对角线、对称性等方面比较平行四边形、矩形、菱形与正方形的性质与判定之间的异同点，最后完成图1，实现正方形的判定方法的整理。

图1

二、拓宽课堂教学

（一）梳理数学知识的不同形态下的联系，感悟数学知识的统一性。

初中数学的很多相关概念分散在不同章节之中，或者教材之中只是出现某种特殊图形的概念，还有一些相关的类似概念没在教材中出现，在教学中可以通过梳理，一方面拓展学生数学学习的视野，另一方面使得数学知识结构更为统一协调。以中位线为例，三角形中位线与梯形的中位线有着不同的形式与特有的性质，但同时它们也存在关联性，为了拓展课堂教学，不妨将平行四边形的中位线定义为取对边中线的连线段，这样中位线就有了图2中的几种形式。

在教学中，可以利用几何画板的动态演示，将三角形、梯形、平行四边形、X形图的中位线通过动态展示它们之间的相互联系，感受它们在不同图形中的统一结论：中位线EF=，其中三角形可以看成上底AD为0，而平行四边形则是上下底相等，X形从AD变为DA，此外，还可结合数轴解释从正到负的变化。

图2

（二）整理不同知识之间的内在联系，感悟数学知识的整体性。

同一领域内的数学知识在教材中的分布可能是分散的，但本质上又存在联系。在螺旋式的学习进程中，应当引导学生发现它们之间的联系，在教学设计时教师就应当关注它们之间的联系，如方程、不等式及函数之间的联系，它们都是基于代数式，在代数式的教学中教师就应当整体把握方程设计。当代数式值取某一常数时，即得方程;取一范围之值时，即有不等式;代数式字母值变化时，值也随之变化，即有函数的思想在其中。在学习代数式的值时，可以通过问题设计，引导学生感悟这种内在联系，体会数学知识不是孤立的，而是整体连续的。

有了此种整体观的学生，今后在学习二次函数等其他函数时，将会站得更高，以更全面的角度看待函数及方程、不等式之间的关系，而这种关系也为学生将来高中的二次不等式的学习埋下伏笔。

（三）联合运用数学知识解决生活问题，感悟数学应用的综合性。

数学知识的关联不只是在一个主题概念中产生，也不只是在一个领域内有些联系，事实上，不同领域或不同学科之间都存在联系。其中综合实践活动是将不同数学知识之间联系起来的一座桥梁，在教学过程中，可以通过相关的课题学习或活动设计引导学生综合应用数学知识于生活之中，一方面感受数学的应用价值，另一方面加深对数学知识的认识。随着对综合实践活动认识的提高，综合数学知识应用的问题也丰富起来。如在学习了统计、三角函数、代数式等知识后，可引导学生开展如下形式的综合性教学活动。

1.问题呈现。

如图，A、B、C是三个垃圾存放点，点B、C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米，某实践活动小组四人分别测得∠C的度数如表1。

表1 活动小组测得∠C的数据

他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图，分别如图3、图4、图5。

图3：垃圾存放点 图4：垃圾量统计一

图5：垃圾量统计二

现要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用。

2.思考。

（1）在问题解决过程中，你用到哪些数学知识？

（2）为什么∠C的测量各不相同，你如何处理不同的测量结果？

（3）你觉得四人分别测量并进行后期数据处理的方式有什么现实意义？

3.请你与同伴组建小组，设计一个安全可靠的测量“世纪之光”的高度的方案，并完成方案实测。

问题取材于2014年河北省中考试题，通过模拟现实情境，创设一个集统计、测量、三角函数等多领域的数学知识综合应用问题，通过问题的解决，不仅联系各种数学知识，也让学生感受到数学综合应用的价值，为今后的社会生活提供应用数学知识的基本活动经验，培养学生的数学综合素养。

三、深化数学学习

（一）梳理章节相关知识点，丰富基本结论。

数学学习不仅是教材内容的学习与应用，更是对数学知识的再创造，通过同类的数学问题寻求联系点，重建数学基本图形与结论，整合相关数学知识点，“创造”新知识。如在学习“圆”这一章内容时，垂径定理中常会归纳出一个“弦的一半（），表示弦心距的垂线段（d），半径（r）三者所构成的直角三角形”的基本图形（如图6），而圆周角与圆心角是“圆”的核心知识点，将三者联系起来，我们可以丰富原有的基本图形与结论。

在图7和图8中有∠D=∠O，图9中有∠D=180°-∠O，三个图中都存在sin∠D=sin∠O。应用这些结论，可以更好地解决一些数学问题。

问题呈现：（2012宁波）如图10，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。

解：本题图中有圆周角∠BAC=60°，弦EF，联系基本图形，连结OE、OF，作OH⊥EF（如图11），可得△OEH是一个含60°角的直角三角形，于是OE∶EH=2∶■，从而有OE∶EF=1∶■，即EF=■r=■AD。当AD⊥BC时，AD有最小值为2，故线段EF长度的最小值为■。

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（二）联系同类数学知识，丰富相关知识外延。

同类的数学知识往往具有共通性，它们之间存在丰富的内在联系，如一次方程、二次方程的知识与解决的思想方法都存在相关联系，有时将它们相结合会产生更丰富的数学结论。又如八年级上册学习的一次函数图象与八年级下册的反比例函数图象结合就可以产生很多有趣的结论。

如图12，已知直线y=ax+b（a<0）与双曲线y=■（k>0）的第一象限分支交于A、B两点，交y轴、x轴于C、D两点，则有：①AC=BD;②△ACE≌△BDH;③FG//CD。

同时，引导学生说明结论成立的理由，并思考：若直线y=ax+b（a<0）与双曲线y=（k>0）的两个分支分别交于A、B两点，交y轴、x轴于C、D两点，上述结论是否仍然成立？说明理由。通过类似的方式，可以通过纵向联系不断丰富数学知识。

（三）联系不同领域的数学知识，丰富问题解决途径。

不同领域之间的数学知识往往可以相互补充，尤其是几何与代数之间的联系，数形结合思想就是一个典型的体现，几何问题常常用代数方法解决，代数问题也可以用几何方法来解释。

问题呈现：如图13，两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠C=∠E=90°，BC=DE=6，AC=EF=8，顶点D与边AB的中点重合，DE⊥BC于M，DF交AC于点N，此时重叠部分（阴影）的面积是 。

几何法解答。

如图14，连接BN，设CN=x，结合勾股定理求得：x=，∴S==。

解析法解答。

如图15，将原图旋转，便于建立直角坐标系，由几何方法先求得点F（2，8），D（-4，0），求直线DF的解析式得：y=x+。又点N纵坐标为3，∴3=x+，解得：x=-，即CN=，∴S==。

数学知识的纵向联系不仅是知识之间的联系，更是数学教学与学习连续性与整体性的体现，已学的数学知识可以为新知奠定基础，新知可以深化已学的知识，两者可以相互促进。教师在课堂教学与引导学生学习中，对前后知识要关注整体性、统一性、综合性。这样才能更好地教好数学，让学生学好数学，未来才有可能创新数学。

【参考文献】

[1]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2013（06）.

[2]刘华.追求逻辑连贯的数学教学——以“多边形内角和”教学为例[J].中学数学：初中版，2015（03）.

[3]魏光明.长程设计：关注阶段性和一致性[J].江苏教育：小学教学，2014（05）.