让课堂多些障碍 给学生留下思考

孙西洋

【关键词】数学逻辑;教学反思;解题方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】

笔者在指导学生复习“函数的零点”时曾经与学生共同评析一道例题。在处理此题时，笔者坚持学生自主探究、合作交流的教学模式，充分挖掘学生的潜能，有力地促进了学生个性的发展。

巧合的是，在随后南京市举行的期中考试中，有一道题的设置与笔者所说的例题非常相似。但从考试的结果来看，超出一半的学生的解题过程不完整。例题如下：

已知函数f（x）=+k，k为实数，是否存在实数a，b（a

回顾上课片段，我留了5分钟时间让学生思考、讨论、交流、尝试解答。在此期间，我认真巡视课堂，聆听学生的想法，了解学生对相关知识的掌握和运用情况。我找到并展示一种通性解法的学生的解答过程，又通过投影展示了另一个学生的解法，以便归纳总结。

生1：假设存在实数a，b（a

师：在解决函数问题时，应该充分考虑函数的哪些性质？

生1：函数f（x）在定义域[-2，+∞]上是增函数。

所以

生1：看到（*）式中有3个陌生的字母，心里发怵，不知道该怎么做下去。

生：是呀，（*）式到底是关于哪个量的方程？

师：解决问题的终极目标是什么？

生：目标是求出参数k的取值范围。方程+k=x，[-2，+∞）（**）应有两个不相等的实根。

生：方程左边是无理式，右边是有理式。

生1：（在师生共同努力下，生1的思路开朗）令=t≥0，则x=t2-2，于是方程t2-t-2-k=0在[0，+∞]上有两个不等的实根，即函数g（t）=t2-t-2-k在[0，+∞）上有两个零点。

作出函数图象可知，函数图像的对称轴是t=。

f（0）=-2-k≥0△=（-1）2+4（2+k）>0

解得

师：顺利解决（*）式的关键是什么？

生：要根据条件与结论的关系，时刻明确目标，才会明确解题方向。

然后教师通过投影展示学生2的解法，其解法如下：

因为函数f（x）在定义域[-2，+∞）上是增函数。所以

方程

应该有两个不等的根，即函数g（x）=-x与y=-k在[-2，+∞）上有两个不同的交点。

令g′（x）=0得x=-，当x∈（-2，-）时，g′（x）>0。

当x>-时，g′（x）<0。所以函数g（x）在[-2，-）上是增函数，在（-，+∞）上是减函数。

所以函数的最大值是g（-）=，而g（-2）=2，作出函数y=-x图像，可知：当2≤-k<即k∈（-，-2]时，直线y=-k与函数y=-x有两个交点。

大家普遍反映学生1的解法简单，但需要运用的知识比较多，计算比较复杂，计算量也比较大。学生2的解法简单、明快，但是技巧性比较强。

为什么在课堂上很顺利，到了考试卷上学生会犯糊涂呢？为了探明这个问题的根源，笔者对做错的学生进行了问卷调查。

一、原因分析

1.源于教师的因素。

学生普遍反映，在课堂上他们还没有形成解题思路，老师就讲评了。上课时，学生只是通过自己的努力做出来的，没有认真听讲。教师只注重讲解将（*）式转化为方程+k=x在给定区间上有两个不同的解，（**）式化归为有理方程t2-t-2-k=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，在与两个函数图象有两个交点等关键步骤的处理上跨度较大，加上教师给学生思考与动手演算的时间较少，所以很难掌握。另外教师课后没有运用配套练习让学生及时进行强化，随着时间的推移，学生逐渐淡忘。

2.源于学生的因素。

学生因素分为两方面。一方面是学生的习惯，课堂上听得很好，由于没有课堂笔记，没有及时反思、归纳，导致“懂而不会”。仅仅局限于一听就懂、一看就会，重技能、轻过程，缺乏计算的严谨性、完整性。另一方面，学生缺乏信心，认为自己基础比较薄弱。简单解法容易想到，但是计算过程比较复杂;复杂的方法技巧太强，于是产生畏难情绪。因此两种方法很难掌握。

二、深度反思，追溯“缺失”

1.学生主体性的缺失。

课堂，是学生的课堂。作为教师，首先要认识到，每名学生的潜力都是无穷的，应让学生大胆地参与，且留出更多的时间给学生真正参与解题。教师的主导作用秒杀了学生的思想源头，掐断了学生思维的生长点，致使大多数学生停留在欣赏的思维层面。如果在学生1的解题过程中，教师能鼓励更多学生大胆地展示自己的想法，让他们在讨论中受到启发，并谈谈在形成的多种解法中遇到的挫折，以及在思维的碰撞中理性思维的回归过程，那么便能充分调动学生学习的积极性、创造性，发挥他们的主体性。

2.解题方法的缺失。

教学不是教师的一言堂。学生获取知识本来就应该在不断探索和交流中进行。在解题活动中汇总，难免会有学生给出错误解答或提供连教师都没有预先想到的“通解”“妙法”。教师要善于抓住教育资源和学生的解题需求，不能一味地把学生往自己预设好的解题思路上拽。

3.解题步骤的“缺失”。

注重思路、方法的评析，忽视运算的准确性、完整性和书写的逻辑性、研究性，是造成本题讲解一个“缺失”。如在问卷调查中有学生指出：老师只注重讲解（*）（**）式的处理，但是对解题过程中的几个关键步骤几乎没有提及，特别是学生1的解法省略的中间步骤正是学生最期望看到的。

数学家罗素说：“数学是符号及逻辑。”例题的评析应重视算理的选择和运算过程的准确性，注重表述的逻辑性和条理性，解题过程应简洁而不失严谨。

三、完善理念，修正“缺失”

1.树立以学定教的教学理念。

作为教学的设计者必须考虑学生的学情与需要。

然而在本例的教学设计中，笔者只是根据主导性需求设计教学目标，几乎没有顾及学生的需要。这样的教学设计，没有真正体现以学生为本，表面上很热闹，其实给学生课后留下了更多的疑问。

2.解题过程要顺应学生的思维。

苏教版高中《数学》编写组成员张乃达曾说：“明明知道结论（思路），就是要忍住不讲;另一方面，有些教师也让学生思考、板演。但由于对学生的思路不理解，或者学生没有按照教师所讲的规范去思考，就将学生的思维成果一带而过，继而批评学生没有掌握学习的内容。”

在问卷调查中有学生指出：（*）（**）式的处理很巧妙，当时给我们的印象很深刻，老师又急忙讲解下一题了。后来，通过与学生交流得知，他们热衷于用以下方法解决问题。

方程+k=x在[-2，+∞）上有两个不同的解等价于函数y=与函数y=x-k的图象有两个交点。

当直线y=x-k经过点（-2，0）时，两曲线有两个交点。

当直线y=x-k与曲线y=相切时，切点为A（m，n），则=1，解得m=-，此时切点为A（-，）。在直线y=x-k上，解得k=-，画出函数图象，可知k∈（-，-2]。

如果在解题过程中，坚持“基于学生的理解”的原则，多了解学生的解法和错误，并与他们一起讨论、辨析、寻求解法，考试的效果可能会好得多。

3.解题过程要关注学生的多维感受。

教师在授课过程中，不仅要用巧妙的思维来吸引学生的眼球，更要关注对学情的掌握，关注学生对知识的感知所达到的程度，关注学生理解的难点在何处，关注学生在理解和化解难点上需要教师怎样的帮助，而不是脱离学生的感受，一成不变地实施教学。

教育家布鲁姆说：“我们无法预料教学所产生的全部范围，如果没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了。”教师在追溯缺失的多元目标的教学设计的同时，要化遗憾为精彩、化缺失为艺术，让学生的思维自然流淌的同时，也能提升教师自身的教学业务能力。