将数学建模引入高中数学教学中

尹德俊

摘 要 分析数学建模在高中数学教学的地位、设计方法，介绍数学建模融入高中数学教学的可能性，并介绍一个高中数学教学引入数学建模课程设计案例。

关键词 数学建模；高中数学；教学改革

中图分类号：G633.6 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2015）13-0092-03

当前，随着全国大学生数学建模活动的开展和普及，国家认识到数学建模活动的重要性，开始向中学普及数学建模活动。许多高中学校已经开始想方设法将数学建模活动引入高中数学课程教学中去，使得数学建模活动融入高中数学教学已经迫在眉睫。高中数学建模活动也在有条不紊地发展，在新版的高中数学教材中已经随处可见数学建模活动的影子，但对于高中数学建模融入高中数学教学中来的研究却不多，也缺少很多实际依据。在国家需要的人才以应用型人才为主的前提下，很多学校在尝试教学改革，特别是数学教学的改革，将数学建模活动引入课堂教学，但高中的数学建模活动和教学任重道远，在实施数学建模教学的过程中受到诸多因素的影响。

首先，现有的高中数学课程的教学大纲中还没有涉及数学建模内容，更别说是数学建模的课时安排。当前，高中数学建模课程没有教材，数学建模教材大都是针对于大学生的，教材中使用的数学知识相对于高中学生来说是非常深奥的，这让数学教师在授课和具体实施数学建模活动时毫无目的，无法下手。

第二，对于高中数学建模的专项研究刚刚起步，高中数学教师对于数学建模活动没有概念，对数学建模的意识和方法都不甚了解。

第三，对于高中数学建模课程的评价体系没有建立，在以应试教育的高考决定成败的时代，让高中学生花费时间去进行数学建模活动是不现实的，学生也不会同意。

笔者在尝试将数学建模融入高中数学课程的教学中有了一定的认识和了解，对此进行总结。

1 数学建模活动在高中数学课程教学中的地位

高中数学建模活动是高中数学课程学习的一种新思路、新方法，其背景是社会生活中的实际问题，将数学知识与其结合在一起，让高中学生去思考、解决，丰富了高中学生的知识，增强了学生的想象能力，让高中学生将理论与实际结合在一起，提高了高中学生学习数学的兴趣，让高中学生运动所学的数学知识，创造性地以自己的思维方式解决问题，认识到学习数学的价值所在。高中数学建模活动能够提高高中学生主动用所学数学知识解决社会生活问题的意识，所以国家出台的《普通高中数学课程标准（实验）》强调：高中的数学课程需提供数学基本内容的现实背景以及应用价值，适当开展高中数学建模的活动[1]。

2 数学建模活动在高中数学教学中的过程设计

数学建模活动是社会现实问题的数学情境教学 高中数学建模活动就是以社会实际问题为背景，围绕该问题进行数学知识与实际问题的结合，从而开展高中数学教学，其主要目的是为高中学生创造一个社会实际情境。在高中数学学习中，数学情境是练习高中数学内容与社会生活问题的纽带，是高中学生主动学习数学知识的桥梁，是深化高中学生思维的基础。数学情境的创设使得高中学生对数学产生兴趣，从而主动去学习数学知识，使得高中学生更容易解决社会实际问题。

在学习代数中的函数知识时，可以将贷款问题引入数学课堂，进行数学建模情境教学；在学习立体几何问题时，可以将测算降雨量问题引入数学课堂，进行数学建模情境教学；在学习椭圆方程时，可以将物理问题——行星运动轨迹引入数学课堂，进行数学建模情境教学。将数学建模活动代入课堂，对高中学生的数学建模能力和解决社会实际问题的能力都提出更高的要求。在此，数学教师在上课前可以提前布置任务，比如为饮料罐设计一个最省材料的圆柱罐形，让学生课下思考和讨论，等上课时教师与学生再共同建立一定条件下的数学模型：体积固定不变，计算表面积最小时，圆柱罐高和底面直径的具体数值。

数学课程中的数学建模问题都是取自现实，且符合高中学生水平的问题 在高中阶段，数学建模活动的教学目的是让高中学生树立数学建模的意识，能够进行简单的数学建模，让学生感受到数学的存在。因此，为了培养高中学生解决社会现实问题的意识，提高高中学生解决社会现实问题的能力，在高中数学课程中设置数学建模活动，数学建模的素材非常重要，尽量不要做加工，拿到实际问题直接让学生去处理解决，让高中学生真实感觉到数学建模的重要性和趣味性。但同时也要考虑到高中学生的能力水平和数学知识水平，选择合适的、与生活关系密切的题材带入数学教学中，但不要简单地用数学应用题代替。

把高中生非常关心的社会问题设计为数学建模问题，代入高中数学教学中 长久以来，很多人认为学习数学除了算数没有别的用处，认为学习数学纯粹就是提高计算能力，根本与实际问题结合不起来。而当前的高中数学教学和高考也确实如此，基本上就是搞难题，搞偏题，让数学成为演题、运算的过程，无法与其他学科联系，导致高中学生认为数学在现实生活中没有用处。但是，事实上数学是非常有用的，与现实生活中几乎每一个问题都紧密相连，比如：家庭收入、银行存款等都可以设想为一个数学函数问题；盖房成本、人口控制等都可以设计为一个求最值问题；学校食堂吃饭问题可以设计为排列组合问题；等等。这些实际问题化为数学问题后，使得当学生在生活中遇到的时候就会想起数学，就会觉得数学是非常有用的，是最接近于生活的，能激发学生学习数学知识解决实际问题的欲望，调动学生学习数学的积极性。

3 将数学建模活动代入高中数学教学课堂的案例——几类函数的数学建模教学[2]

课堂教学目标 学习一次函数、二次函数、幂函数、指数函数四类函数的基本内容，使学生了解它们的应用，建立超市销售的函数模型。

课堂教学重点 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数的性质、计算及应用。

课堂教学难点 构造函数模型，并一一进行比较，确定最优的函数模型。endprint

课堂教学用具 电脑、黑板、粉笔、画图软件。

课堂教学过程

1）所用数学知识点讲解。教师对该节课用到的知识点包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数进行讲解。

2）设置情境，引入数学建模实际问题。给出现实问题：某家超市对某种品牌的方便面销售情况进行调查，1—4月的销售量分别为1万袋、1.2万袋、1.3万袋、1.37万袋，其销售状况良好，现在估计一下以后几个月的销售量，以便厂家供货。

3）对实际问题进行分析。在此，高中学生学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数的基本内容，对其性质和图像都有了了解。但是该销售量预测的问题，仅用这些数学知识是无法解决的，这些数学知识解决该问题的基础。该问题可以通过分析假设将其抽象化，看成一个数学的问题，对其作出正确的评估，让学生更好地掌握这些函数的内容。

4）对问题进行假设分析，建立几类函数的数学模型，并对其进行比较。观察前四个月的销售量，对其销售数据进行分析，以期望找到估计后来月份销售量的方法。在此，在平面中建立直角坐标系，将这些数据描绘到直角坐标系中去，画出散点图，对散点进行连接，根据连接的图形观察是否符合所学四种函数的图形。

一次函数：f（x）=kx+b（b≠0）

二次函数：g（x）=ax2+bx+c（a≠0）

幂函数：

指数函数：n（x）=abx+c

将实际的预测后几个月的销售量问题与四种函数结合，确定它们之间的联系。现把四个月的销售量的对应数据写成坐标的形式：

A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）

将四个点的坐标利用Excel作出散点图（图1），利用已知四个函数，计算出剩余点的误差，利用最小的误差函数估计后面几个月的销售量情况。

①将B，C两点的坐标代入一次函数表达式f（x）=kx+b（b≠0）中，可得：

f（x）=0.1x+1

将A点坐标代入得f（1）=1.1，该点的误差为0.1；将D点坐标代入得f（4）=1.4，其误差为0.03。

②将A，B，C三点的坐标代入二次函数表达式g（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，可得：

g（x）=-0.05x2+0.35x+0.7

将D点坐标代入得g（4）=1.3，其误差为0.07。

③将A，B两点的坐标代入幂函数表达式中，可得：

将C点坐标代入得m（3）=1.3，其误差为0.05；将D点坐标代入得m（4）=1.48，其误差为0.11。

④将A，B，C三点的坐标代入指数函数表达式n（x）=abx+c中，可得：

n（x）=-0.85×（0.5）x+1.4

将D点坐标代入得n（4）=1.35，其误差为0.02。

对上面的四个函数模型进行比较，根据误差最小的原则，选择最好的函数模型为指数函数模型。

5）将该函数模型进行应用推广。

某商店在2009—2013年四年的交易额总量分别为25.9万元、30.6万元、38万元、48.9万元。现在要求：①建立一个合适的函数模型，估计该商店以后的交易额总量，并用2014年（66.8万元）、2015年（85万元）两年的交易额总量检验误差大小，确定最好的函数模型；②求出该商店交易额总量的平均增长率；③按照①②分别预测2016年该商店的交易额总量，并讨论哪种估计结果最准确？

4 结论

把数学建模活动引入到高中数学教学中来，有利于学生掌握高中数学知识，有利于提高学生学习数学的兴趣，有利于学生将数学知识引用到解决社会现实问题中去。

参考文献

[1]郑珺影.数学建模在高中教学的应用[J].才智，2009（35）.

[2]李涛.中等职业学校数学建模课程建设之研究[D].山东：鲁东大学2013.endprint