关于一些群的分解性讨论

张涛

（南京财经大学应用数学学院）

关于一些群的分解性讨论

张涛

（南京财经大学应用数学学院）

主要讨论群的分解问题，要讨论群的分解首先要引入直积的概念。而为了接下来讨论的方便，就要给出关于直积的一个非常重要的定理。之后，自然地给出了可分解群的概念。通过举出两个循环群的例子，得到一类循环群可分解的一个充分条件，并且通过算术基本定理，将这个结论推广到所有的有限循环群上。然后在此基础之上，通过讨论循环群与交换群的关系，发现有限交换群与有限循环群具有相同的分解性。此外，也给出了一些不可分解群的实例，特别是一个文字上的对称群，而具有一些很好的性质，通过这些性质得到了一个群可分解的充分条件。最后给出了一个群可分解甚至可唯一分解的一个非常重要的充分条件，并利用这个反过来讨论了文章之前所举的可分解群分解唯一性的问题。并且通过良序性质，最后证明了整数加群满足降链条件而不满足升链条件。

直积；可分解群；对称群；良序

群分很多类，大部分群的结构是未知的。遇到一个不熟悉的群，为了要弄清它的结构，我们通常会有如下思路：首先我们可以找出与该群同构的而其结构又是已知的群。其次我们可以用构造比他简单的子群来表达，这在讨论群的构造时有非常大的作用，特别是在讨论群有多少个同构分类的问题上。而一个群的构造如何用它子群的构造来决定，这就牵涉到群的分解，哪些群是可分解的？哪些群是不可分解的？在本文中，我们尝试对一些特定的群进行讨论，而要讨论群的分解，首先要用到直积的概念。

定义1：假设A，B是群G的子群，并且满足

（1）A◁G，B◁G

（2）G=AB

（3）A∩B=E，E是群G的单位元群

那么称G为子群A，B的直积，记作G=A×B，且称A，B为G的直积因子。

有了直积的定义之后，我们在利用直积的性质时，经常采用如下定理，再给出定理之前，我们先给出一个引理：

引理1：群G的子群H，K的乘积HK成群⇔HK=KH.

证明：必要性：

若HK成群，∀h∈H，∀k∈K，因为kh的逆h-1k-1∈HK，所以kh∈HK KH⊆HK.

又因为（hk）-1∈HK，令（hk）-1=h′k′，则hk=h′-1k′-1∈KH，所以HK⊆KH，因此HK=KH.

证明：充分性：

若HK=KH，则∀hk∈HK的逆元k-1h-1在KH=HK中，而HKHK=HHKK=HK，所以HK对乘法封闭，于是HK成群。

有了这个引理之后，下面的定理就显得很直观.

定理1：G=A×B⇔∀g∈G能够唯一的表成g=ab，a∈A，b∈B且A中任意元能与B中任意元交换.

证明：必要性：

因为G=A×B，所以∀g∈G有g=ab，若表示不唯一，则于A∩B=E矛盾；又A◁G，B◁G，所以a（ba-1b-1）=a（ba-1b-1）=（aba-1）b-1∈A∩B=E，所以ab=ba.

证明：充分性：

由条件可得AB=BA，则G=AB，又表示唯一，有A∩B=E.

而gAg-1=abAb-1a-1=aAa-1⊆A，所以A◁G，同理B◁G.

有了直积的概念之后，我们可以自然的引入下面的定义.

定义2：一个群如果能分解为它的真子群的直积，就称为可分解群，否则就是不可分解群。

根据这个定义，我们可以知道，如果一个群可分解，并且其直积因子的结构已知的话，则该群的构造就由它的直积因子唯一决定。当然，我们可以自然的将上述直积概念推广将群G表示为n个子群的直积的情况，即得G=A1×A2×……An的定义。因此若G是有穷群，则有，即G的阶数为它的直积因子的阶数的乘积。

例1.6元循环群（a）是子群（a2），（a3）的直积，即（a）=（a2）×（a3）为可分解群。

例2.设G是15元群，15=3×5，由西罗定理可知3西罗子群的个数n3=1+3x要整除5，所以G只有1个3西罗子群G1，同理也只有一个5西罗子群G2，而一个群的所有同阶西罗子群是彼此共轭的，因此它们都是G的正规子群。又因为阶为素数的群皆为循环群，所以G=G1×G2=（a）×（b）=（ab）为循环群，也就是说，15群在同构意义下只是循环群，并且为可分解群。

那么，通过这两个例子我们很可能会得到这样一种假象：有限阶的循环群都是可分解群。为此，我们有这样的一个结论：循环P群和无穷循环群都是不可分解群

证明：任取循环P群的两个子群，其阶分别为Ps和Pt（s≤t），那么根据西罗定理，Ps阶子群又是Pt阶子群的子群，它们的交很明显不是单位元群；而对无穷循环群来说，我们知道它同构于整数加群Z，对∀（m）＜Z，（n）＜Z除单位元外至少有m，n的最小公倍数q∈（m）∩（n），所以它的任意两个子群的交也不可能是单位元群。那么有限阶的循环群什么时候可分解呢？其实通过上面两个例子，我们还是可以看出其中的一般规律，也就是：

假设（a）是n=rs阶循环群，其中（r，s）=1，则（a）=（as）×（ar）

证明：因为（r，s）=1，则∃u，v，有ru+sv=1，于是a=（ar）n·（as）v，所以（a）=（ar）×（as），令b∈（ar）∩（as），则b=ash=ark，于是sh≡rk（n），也就是说sh-rk=mn=mrs，所以sh=r（k+ms），而（r，s）=1，因此r|h，b= ash=asrl=e，即（ar）∩（as）=E，又很容易知道（ar）◁（a），（as）◁（a），所以（a）=（as）×（ar）。

这个结论我们可以进一步的推广得到一个更一般的结论：由算术基本定理，我们知道n的标准分解式为，其中pi为互不相同素数且ri＞0，（i=1，2，…s）则，所以根据上面的讨论立马有，再反复利用上面证明的结论，我们可以得到有限阶循环群总可以分解为一些循环p群的直积。我们知道循环群是交换群，但交换群不一定是循环群，但我们可以很快推导出一个循环群G，其所有的子群都具有 Gm=（am）的形式，其中m是正整数且m|n，也就是说Gm是由群中各元的m乘幂所构成。因此石兹后来证明了其逆，即交换群G，如果它的所有子群都具有Gm的形式，那么G就是循环群。因此，交换群G是循环群的充分必要条件是它的子群都是Gm（m是正整数）的形式。当然这里我们需要说明一下，如果G不是交换群，Gm不一定成群；如果G是交换群，很明显又Gm都是G的子群；再对∀m∈Z，Gm都是G的子群，G也不一定就是交换群。直接证明石兹的结论是很困难的，但不难发现，石兹的定理可以换一种表述，即有穷交换群是循环群的充分必要条件是群的元数为群中所有元数阶数的最小公倍数。

证明：必要性：

假设G=（a）的阶数n=pq，（p，q）=1而G中任意元的阶数要整除n，所以n使他们的公倍数，又所以n是它们的最小公倍数。

证明：充分性：

bpn=e，（ab）qn=aqn=e，所以，而（p，q）=1，因此，则pq=n，所以G是循环群。

那么在此基础之上，我们可以很明显地看出，对于交换 群来说，群的阶数为所有元数阶数的最小公倍数，所以其是循环群，因而其可以分解为一些循环G群的直积。而我们对于有穷交换群又有这样一个定理

再根据刚刚证明的结论，不难发现对任意的有限交换群总能分解为一些循环p群的直积。

例3.12元交换群是它的4元子群和3元子群的直积，此时元子群子群要么是循环群，要么是克莱茵4元群B4，而B4又是两个12元群的直积，所以12元交换群要么是循环群，即4元群和元群的直积，要么是两个2元群和3元群的直积构成的非循环群。而且我们还可以得到一个结论就是任意的有限交换群G能够分解为阶数是n1的循环群（ai）的直积，即G=（a1）×（a2）×…（am），并且可以使ni|ni+1i=1，2，…m-1

例4.G=（a1）×（a2）×…×（a5），他们的阶数分别是23，24，3，32，33，令G1=（a3），G2=（a1）×（a4）=（a1a4），G3=（a1）×（a5）=（a1a5），则有G=G1×G2× G3，这时G1，G2，G3的阶数为3，23，32，24，33。

接下来，我们要引入一类非常重要的不可分解群：对称群Sn.

引理2：对称群Sn都是不可分解群

证明：首先证明当n≠4时，除平凡正规子群外只有An◁Sn

假设A◁Sn（n＞4），则（Hn∩An）◁An，而当n＞4时，交代群An是一类非常重要的单群，所以Hn∩An=A或Hn∩An=E。对于前者，H⊇An若H⊃Sn则有H=Sn；对于后者，H除包含单位元外其他的都是奇排列，而且它们的平方都是单位元，所以这些奇排列用不同文字的循环排列的乘积表示时一定都是对换的乘积，否则它们的平方就不是单位元。又H不含两个奇排列，这是因为两个奇排列的乘积是偶排列必为单位元，从而它们互逆，从而相等。假如s=（ij）…是H所含的奇排列，令t=（ik），k≠j则tst-1=（kj）…∈H，这与H不含两个奇排列矛盾。所以H也不含一个奇排列，因此H=E.

当n=4时，我们能够很快验证除平凡正规子群外只有A4◁S4， B4◁S4，而且E◁C4=｛（1），（12）（34）｝◁B4=D（A4）◁A4=D（S4）◁S4，注意这里得到正规子群具有传递性的这样有诱惑力的结论，至于传递性在何种情况下成立，我们将在下面进行讨

又D（Sn）=An，所以当n≤3时结论是显然成立的。

所以对称群Sn都是不可分解群。此外当n≠6时，Sn≌Aut（Sn），所以当n≠6时，Aut（Sn）也是不可分解群，所有与对称群Sn同构的群也都是不可分解群。当然在这里，我们要注意的是一个群自身的性质一般是不能转移到它的自同构群上的。

例5.无穷循环群（a）的自同构群是2元循环群，当（a）是n元循环群的时候，它有φ（n）个生成元ar，这里φ（n）表示关于n的欧拉函数，其中（r，n）=1，所以它的自同构有个φ（n）个，即σ（ra）=ar，所以这时（a）的自同构群与Z-（n）中所有的，（r，n）=1，对乘法形成的群同构，所以循环群的自同构群只是交换群，不一定是循环群。此外不同构群的自同构群也可能同构，例无穷循环群和3元循环群的自同构群都是2元群。

但是对称群Sn有一类特殊的性质.

命题1：当n≥3时，Z（Sn）=E

证明：取∀ɩ≠（1），则∃i≠j，使得ɩ（i）=j，令σ∈Sn，使得σ（i）= k，k≠i，j并且保持其他元素不动，则σɩ（i）=ɩ（k）≠j，σɩ（i）=j，显然σɩ≠ɩσ，所以∀ɩ≠（1）∉Z（Sn）.

在此基础之上，我们又知道当n≠6时，对称群Sn的自同构群都是内同构群，我们称这样的群为完全群，对于完全群我们有一个重要的定理。

定理3：如果H◁G且H又是完全群，那么G=H×Z（H），其中Z（H）为H的中心化子。

因此，在此定理基础之上，我们可以得到一个推论：如果SnΔG，n≠2，6那么群G就是可分解群。

在上面的讨论中，我们留下了一个问题，即正规子群在何种情况下具有传递性。为了解决这个问题，我们首先得引入一个定义。

定义3：如果一个群能够分解为它的真单子群的直积，则称该群为完全可分解群.

例6.15元群可以分解为3西罗子群和5西罗子群的直积，并且两者均为单群。对于完全可分解群的性质，我们有如下两个已知的定理.

定理4：假设G是完全可分解群，A是它的任意正规子群，则存在一正规子群B，使得G=A×B.这就是说，完全可分解群的任意正规子群是它的直积因子。

定理5：完全可分解群的正规子群是完全可分解群，完全可分解群的商群也是完全可分解群。

有了这两个定理，现在我们可以来解决上述的问题了。

命题2：在完全可分解群中，正规子群这个关系适合传递性。

证明：设G为完全可分解群，A◁G，则∃B◁G有G=A×B，所以A∩B=E，且A中任意元能与B中任意元交换。又设A1◁A，则∀g∈G，当∀g∈A时，gA1g-1⊆A；当g∈B时，gA1g-1=A1gg-1⊆A，所以A1◁G.

在上面我们相继介绍了直积，可分解群与不可分解群的定义，并且举了一些可分解群与不可分解群的实例之后。我们不禁要提出这样的疑问为了要搞清一个复杂群的结构时，我们何时才能将其分解或唯一分解成一些不可分解群的直积呢？虽然我们上面推导出了有限阶循环群总可以分解为一些循环p群的直积这样的结论，但是将循环群的条件去除以后结论就不一定正确了。

对此克努尔，雷马克，许密特有一个重要定理，在给出定理之前我们首先给出一个定义

定义4：群G叫做满足（正规）子群的升链条件，是指对于G的每个（正规）子群链G1＜G2＜…，均存在一个整数n，使得当i≥n时有Gi＜Gn；G叫作满足（正规）子群的降链条件，是指对于G的每个（正规）子群链G1＞G2＞…，存在一个整数n，使得当i≥n时有Gi=Gn.

定理6：若群G满足正规子群的升链条件或降链条件，那么G就能够分解为有限个不可分解子群的直积。若G满足同时正规子群的降链条件及升链条件，那么G就能够唯一的分解为有限个不可分解子群的直积，也就是说如果有G=G1×G2…Gh，G=H1×H2×…× H4其中Gi，Hi都是不可分解子群，那么h=k，并且适当的改变顺序可以使Gi≌Hi。

例7：很明显，我们由定义可以很快的看出任意有限群均同时满足升链条件和降链条件，所以上面所讲的，有限循环群或有限交换群的直积分解均是唯一的。

例8：整数加群Z满足子群的升链条件但不满足降链条件

证明：Z的子群的形式为（m）=｛km |k∈Z ｝，并且若（m）＜（n）则有n|m，而对于自然数集N，按照自然的数的大小关系，其成为一个良序集，即每个非空子集均具有一个最小元。所以Z满足正规群列的升链条件，又Z是可数集，所以不满足正规群列的降链条件而是无穷循环群，不可分解。

群的分解很重要，它能够在我们弄清楚群的结构的过程中提供帮助。在群的分解基础之上，我们可以进一步的讨论群的同构分类问题，甚至我们进一步的可以在某些特定的情况下开始讨论一个群的子群的个数问题，这是群里中主要的问题之一，在一般情况下，这个问题没有解决。密勒尔曾经通过子群的个数及性质来讨论群的构造，取得了许多好的结果，当然这是我们以后要研究的问题了。

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·编辑 薛直艳