聋校数学中的三类基本思想及其教学启示*

苏 明 强肖 非

一、问题提出

(一)特殊教育提升计划要求提升教育教学质量和教师专业水平

为了深入实施《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020 年)》，加快推进特殊教育发展，大力提升特殊教育水平，切实保障残疾人受教育权利，2014 年1 月教育部等制定并颁布了《特殊教育提升计划(2014—2016 年)》，明确指出2014－2016年的总体目标、重点任务和主要措施，提出了“提升教育教学质量”和“根据国家义务教育课程标准，结合残疾学生特点和需求，制订盲、聋和培智三类特殊教育学校课程标准，健全适合残疾学生学习特点的教材体系，提高特殊教育教师的专业化水平”的重点任务。研究聋校数学中的三类基本思想及其教学，是提升聋校教师教学水平以及教育教学质量的重要基础。

(二)聋校数学课标(送审稿)提出“基本思想”的目标要求

2014 年7 月教育部组织专家审定并形成了《全日制聋校义务教育数学课程标准(送审稿)》(以下简称为《聋校课标送审稿》)，在《聋校课标送审稿》的总目标中指出“通过聋校义务教育阶段数学学习，聋生能:初步获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。聋校数学课程目标在原来“双基”(即基础知识、基本技能)的基础上，拓展到了“四基”(即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)，增加了“基本思想”和“基本活动经验”的目标要求，其中将数学的“基本思想”列为课程目标，这是我国聋校数学教育的一次重大进展和突破，对聋生后续的数学学习和未来的生活工作，都将有着深远的意义。

(三)普通教育提出数学思想是数学课程教学的精髓

《义务教育数学课程标准(2011 年版)解读》指出:使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，数学课程固然应该教会学生许多必要的知识，但是绝不仅仅以教会数学知识为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想，数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，是数学课程教学的精髓。［1］日本数学家米山国藏认为:“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、数学的方法随时随地地发生作用，使人终身受益。”［2］

基于以上三方面的考虑，笔者认为聋校数学中的基本思想是今后聋校数学教学的一个重要研究问题。因此，本研究试图根据《聋校课标送审稿》的内容标准，梳理义务教育阶段聋校数学的知识体系，挖掘出这些数学知识所蕴含的数学思想，从中归纳出三类基本思想，并给出相应的教学建议，旨在为贯彻落实聋校数学课程标准理念，提升聋校数学教学质量和教师教学水平，做一次学科研究的尝试，提供一种教学实践的参考。

二、基本思想

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。［3］数学中的基本思想是数学产生、发展和应用所依赖的最为重要的思想。史宁中认为:数学思想本质上有三个，第一个是抽象，第二个是推理，第三个是模型。［4］因此，可以将聋校数学的三类基本思想概括为:抽象思想、推理思想和建模思想。

聋校义务教育阶段数学课程，在充分考虑聋生数学学习的特点、认知规律和心理特征的基础上，共安排了四个部分的课程内容:“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”。其中“数与代数”、“图形与几何”是聋校数学课程的主要内容，下文将结合这两部分课程内容，阐述聋校数学中的三类基本思想。

(一)抽象思想蕴涵在数学概念的产生过程

数学概念是数学学习的重要基础，是数学知识的重要内容。在聋校数学中，数学概念主要有:数的概念、运算的概念、方程的概念、图形的概念、周长的概念、面积的概念和体积的概念等。在这些数学概念的形成、理解和深化的过程中都蕴涵着抽象思想，主要包括对应思想、数形结合思想、分类思想、集合思想等。

1.在概念的形成中蕴含着对应思想

义务教育阶段聋校数学中的数学概念一般都是来自于生活，在这些数学概念的形成中，一般都必须经过一个生活问题数学化的过程，这是一个逐步抽象的过程。在数学上，经过抽象后的结果都用一个对应的符号进行表征，将相应的数学符号与数学概念对应起来，比如:将一个苹果、一个香蕉、一头牛、一匹马等抽象出数量“一”，并用对应的符号“1”进行表示等等，这里蕴涵着对应思想。在聋生数学学习过程中，将一个数学概念与一个数学符号建立起一一对应关系，这是后续数学学习的重要基础。

2.在概念的理解中蕴含着数形结合思想

数学概念是客观事物的数量关系和空间形式进行抽象的结果，具有高度的抽象性，一般比较难于理解，这是造成聋生数学学习困难的主要原因。因此，聋生在数学概念的理解过程中，常常需要借助一些具体的直观手段，用直观的“形”来描述表征抽象的“数”的概念。通过“以形助数”、“数形结合”的方式，帮助聋生更好理解数学概念，这个过程蕴涵着数形结合的思想，它是数学概念学习的一种重要方法和策略。如:在分数概念的学习中，常常需要借助长方形或圆形的纸片，通过对折并把其中的一部分涂上颜色，以此来帮助聋生理解平均分和1/2 这个分数;在自然数、小数、负数等概念的学习中，也常常需要借助“数轴”帮助聋生理解数的大小和相对位置等，在这里都蕴含着“数形结合思想”。

3.在概念的深化中蕴含着分类思想和集合思想

数学知识体系是通过一系列数学概念建构而成，分类是数学概念建构的一种重要方法。分类思想是聋生学习数学概念的一种重要思想方法，通过“分类”的思想方法，可以把无序变成有序，可以把杂乱无章变成条理清晰，从而增进对数学概念的深化理解，进一步完善已有认知结构。一般情况下，分类产生的结果就形成了新的集合。因此，在数学概念的深化理解过程中，常常蕴涵着分类思想和集合思想。如:在自然数和负数的概念基础上，为了更为深刻理解整数、自然数和负数的概念，就必须把整数分成正整数、0、负整数，其中正整数和0 构成自然数;为了更深入理解三角形的概念，把三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形等。在这些数学概念的深化理解过程中，都蕴含着分类思想和集合思想。

(二)推理思想蕴涵在数学知识的发展过程

数学概念是数学发展的重要基础，在数学概念基础上经过一定的推演就可以产生一些新的数学结论，从而推动数学进一步发展，数学知识体系得以完善与建构。聋校数学的主要内容是在数、运算、方程、图形、周长、面积、体积等概念的基础上推演而成的一些数学结果，在这个过程中常常蕴涵着推理思想。推理是数学思考的一种重要形式，它是数学得以发展、数学知识得以建构的一种重要思想，主要包括归纳思想、转化思想和类比思想等。

1.在数学结论形成中蕴涵着归纳思想

归纳是一种从个别事物特殊规律推演得出普遍事物一般规律的思维过程，它属于合情推理。虽然通过归纳得到的结论不一定正确，但是通过归纳的思维形式得到的结论往往可能创新。因此，体会感悟归纳思想有利于培养聋生的创新意识和创新能力。聋校数学中的结论基本上都是通过不完全归纳得到的，比如:数的运算定律中的加法结合律、乘法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法对加法的分配律;数的整除性中的能被2 或5 整除的特征;三角形性质中的三角形三边关系、三角形内角和;长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆等平面几何图形的周长公式、面积公式，以及长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形的体积公式等等，这些重要数学结论都蕴涵着归纳思想。

2.在问题解决过程中蕴涵着转化思想

数学学习过程从本质上说就是一个问题解决的过程。在问题解决过程中，不断积累操作活动经验和思维活动经验。当面临一个新的问题或复杂的问题时，常常需要将它变成一个旧的问题或者简单的问题，把不能解决的问题转化成能够解决的问题。在问题解决过程中逐步形成的一种较为稳固的思维模式，这就是转化思想。这是聋生数学学习的重要思想方法，有助于提高聋生的问题解决能力和学习的效率。比如:把小数四则运算的问题转化成整数四则运算的问题，把异分母分数加减法问题转化成同分母分数加减法问题;把平行四边形或圆的面积转化成长方形的面积问题，把梯形的面积问题转化成平行四边形的面积问题，把圆柱体的体积转化成长方体的体积问题等。在这些新问题的解决过程中，都蕴含着转化思想。

3.在数学新知探索中蕴涵着类比思想

推理包括合情推理和演绎推理两种，类比是合情推理的重要内容。类比思想就是把两个(两类)不同的对象进行比较，根据一个已知对象具有某种属性，推断出另一个未知对象也具有这种相似属性的思维模式，这种思想常常蕴含在数学新知的探索过程中。虽然通过类比得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，但是通过类比可以获得一些有价值的猜想，有利于对数学新知的探索，也有利于聋生创新意识和创新能力的培养。比如:在加法交换律和结合律的学习之后，类比猜想这样的运算规律在减法、乘法和除法中也成立;通过三角形两边之和大于第三边这一规律的学习，类比猜想四边形、五边形、六边形等也具有类似的规律等。在这些数学新知的探索与思考中都蕴涵着类比思想。

(三)建模思想蕴涵在数学知识的应用过程

《聋校课标送审稿》中指出:模型思想的建立是聋生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于聋生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言抽象、概括、表征研究对象的主要特征、数量关系所形成的一种数学结构。［5］因此，从这个意义上讲，在聋校数学中，用字母、数字以及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、不等式以及各种图表、图形等都是数学模型。在这些知识的应用过程中都蕴涵着建模思想，它是数学与外部世界建立起密切联系的重要桥梁。《聋校课标送审稿》在总目标中指出“通过聋校义务教育阶段数学学习，聋生能初步体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”。这也是聋生体会建模思想的具体目标要求。

三、教学启示

《聋校课标送审稿》在实施建议中指出:“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视聋生获得知识技能，而且要激发聋生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想”。在聋校数学教学中，为了更好融入数学思想，启发引导学生进行数学思考，让聋生在数学学习中体会并感悟数学的基本思想，教师可以从以下三个方面入手。

(一)引导聋生经历数学概念的产生过程，让聋生体会抽象思想

聋校的数学来源于生活，义务教育阶段聋校数学“数与代数”和“图形与几何”两个部分中的数学概念主要包括以下几个方面:第一，数的概念。主要包括自然数、整数、分数、小数、正数、负数、有理数等。第二，整除的相关概念。主要包括奇数、偶数;因数、倍数;质数、合数;最大公因数、最小公倍数等。第三，运算的概念。主要包括加法、减法、乘法、除法、乘方等。第四，运算定律的概念。主要包括交换律、结合律和分配律等。第五，图形的相关概念。主要包括线段、射线、直线;角、平角、周角;钝角、直角、锐角;平行和相交(包括垂直);平移、对称和旋转;长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆;长方体、正方体、圆柱体、圆锥、球。第六，图形度量的概念。主要包括周长、面积、表面积、体积等。

聋校这些数学概念大致可以分成两大类:一是数的相关概念，二是图形的相关概念。它们都是产生于生活实际问题或者生活具体情景，是客观事物在数量关系和空间形式上的抽象结果。在这些数学概念的教学中，应该引导学生经历一个逐步抽象的数学化过程，让学生体会数学的抽象思想，下面举两个例子说明。

比如，在数的概念《0 的认识》教学中，教师可以通过创设“小猫钓鱼”的情境，给出情境图(图中有4只猫，钓鱼竿后面的袋子中鱼的数量不同，第一个袋子中有3 条鱼，第二个袋子中有2 条鱼，第三个袋子中有1 条鱼，第四个袋子中“没有”鱼)。然后引导学生经历以下逐步抽象的数学化过程:首先是“去情境”(去掉猫、钓鱼竿等无关事物的具体形象，留下袋子和袋中的鱼)，从整体情境中抽象出局部情境，这是第一步抽象。其次，在黑板上画出“○”来表示“袋子”，用“△”表示“鱼”，去掉事物(袋子和鱼)的非本质属性，突出鱼的“数量”，并用图形符号进行描述，这是第二步抽象。最后，再引导学生按照顺序观察“○”中“△”的数量，并用相应的数字符号(即3、2、1、0)表示出来，这是第三步抽象。这样，在认识0 的学习过程中，不仅让学生感受了0 的产生和意义，而且让学生完整经历了一次从生活到数学的逐步抽象过程，体会了抽象思想。

再如，在图形概念《长方形的认识》教学中，教师可以列举生活中的一些“具体事物”(如牙膏盒、肥皂盒、电冰箱等)，然后把它们抽象成都用“长方体模型”进行表示，再从长方体模型中抽象出一个“长方形面”，最后再从长方形面中抽象出“长方形”。在这个过程中，不仅体现了从整体到局部的认识过程，体现了数学的“体－ 面－ 形”的逻辑过程，而且还体现了“面”从“体”中来和“形”从“面”中取的基本过程。这样，聋生就可以经历一个“具体事物”→“长方体模型”→“长方形面”→“长方形”的逐步抽象数学化过程。在这个过程中，不仅有利于聋生抽象思维能力的培养，而且让聋生充分体会了数学的抽象思想，为后续的数学学习奠定抽象的思维基础。

(二)引导聋生经历数学知识的建构过程，让聋生体会推理思想

义务教育阶段聋校数学“数与代数”和“图形与几何”两个部分中的数学知识，主要包括以下三个方面的内容:一是在数的概念基础上，逐步深入研究数的大小、数的性质、数的意义以及数的运算等，这些内容构成了聋校数学中“算术”的主要内容;二是在式的概念基础上，逐步深入研究代数式、方程、等式的性质、不等式的性质以及解方程、解不等式等，这些内容构成了聋校数学中“代数”的主要内容;三是在图形概念的基础上，逐步深入研究图形的特征、图形的运动、图形的变换以及图形的度量(周长、面积、体积)等，这些内容构成了聋校数学中“几何”的主要内容。以上聋校数学中的“算术”、“代数”和“几何”三个方面的知识体系，都是在“数”、“式”和“图形”等数学概念的基础上，经过一定的逻辑推导而建构起来。因此在这些数学知识的学习过程中，教师不能仅仅让聋生进行简单模仿和机械记忆，而应该引导聋生经历这些数学知识的逻辑推导和逐步建构的过程，从而体会数学知识建构发展过程中的推理思想。这样才能在数学学习过程中培养聋生的逻辑推理能力。

比如:整数、分数、小数的四则运算是聋校算术的主要内容，整数的四则运算是算术的核心内容和重要基础。当教学小数的四则运算时，教师应该引导聋生通过观察、分析、比较等活动，将小数运算的问题转化成整数的运算问题;当教学异分母分数加减法时，教师应该引导聋生将异分母分数的运算转化成同分母分数的运算等。在这些问题解决过程中，都包含着转化和类比等推理过程，蕴涵着推理思想。这样不仅能够培养聋生的问题解决能力，而且能够培养聋生的类比推理能力。再如:方程和不等式是聋校代数的主要内容，方程是代数的基础和重要内容。当教学解方程时，教师应该引导聋生通过观察、操作等数学活动，利用等式的基本性质将方程转化成形如“ax = b”的方程，这里蕴涵着转化思想;当教学解不等式时，教师应该引导聋生通过观察比较方程与不等式的异同，将解方程的方法和经验类比迁移到解不等式中，这里蕴涵着类比思想。这样不仅能够帮助聋生建立一个比较完善的知识结构，有利于聋生的数学学习，而且能够提高聋生的问题解决能力和类比推理的能力，为聋生后续的数学学习奠定推理的思维基础。

(三)引导聋生经历数学知识的应用过程，让聋生体会建模思想

在聋校的数学教学中，教师不仅要让聋生了解数学“从哪里来”，还要让聋生知道数学“到哪里去”，让聋生理解数学知识的应用过程。义务教育阶段的聋校数学知识，如数学概念的产生、计算法则的由来、几何形体的特征以及一系列的计算公式等，都体现着数学在现代生活、生产和科技中的应用。因此在聋校数学教学中，教师应该关注“现实情境——知识形成——揭示联系”的抽象过程，让聋生体会抽象思想，积累抽象的经验，不断培养抽象思维能力。与此同时还要重视“问题情境——建立模型——求解验证”的建模过程，让聋生体验数学知识的实际应用，让聋生知道生活到处都蕴含许多数学信息，并理解能够用数学知识解决生活实际问题，增强数学的应用意识，提高数学的应用能力，同时也体会数学知识应用过程中的建模思想。

［1］［5］史宁中. 义务教育数学课程标准(2011 年版)解读［M］.北京:北京师范大学出版社，2012:118.

［2］米山国藏.数学精神、思想和方法［M］. 成都:四川教育出版社，1986:18.

［3］中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准(2011年版)［M］.北京:北京师范大学出版社，2012:8.

［4］史宁中.数学的基本思想［J］.数学通报，2011(1):1－7.12