浅谈数学语言在数学的教与学中的作用

孙林　苗杰

【摘 要】数学语言是认识数学的基础，是培养数学思维能力、形成解决数学问题的能力和巩固数学表达能力的重要手段，這一切都是通过数学语言来实现的。数学语言分为三类：文字语言、符号语言和图表语言，三类语言之间相辅相成，在数学语言学习中占有重要地位。本文根据数学语言的特点，讨论了在数学教学过程中应充分展现数学语言的重要性，并进而总结数学语言的教学策略和方法。

【关键词】数学语言 分类 特点 教学策略

数学语言是认识数学的基础，是培养数学思维能力、形成解决数学问题的能力和巩固数学表达能力的重要手段。叙述数学的能力，也就是掌握数学语言的能力，与数学学习、研究、应用、传播等数学活动，特别是数学的教与学有着密切的联系。数学不但是一门学科，而且是一门语言，新课程标准相应地要求教师在教学中创造情境，让“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断经历直观感知、观察发现归纳类比空间想象、符号表示等过程”。数学的教与学过程包括数学语言的听说读写能力培养，在近几年，数学语言越来越受到教育者的重视，不断地被教育者作为单独的研究对象进行分析和讨论，从而更有效地进行数学活动。事实上，关于数学语言学习目标，现行数学课程大纲中已有明确要求。2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》指出，“数学语言具有精确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容”，要注意“提高数学表达和交流的能力”。

1 数学语言的特点

数学语言是以数学符号为主要词汇，以数学公理、定理、公式等为语法规则的一种有别于自然语言的科学语言。数学语言是伴随着数学自身的发生和发展而逐渐成长起来的，是储存、传承和加工数学思想信息的工具。正如美国数学家莱克斯（A.Lax）和格罗特（G.Groat）说的那样：“它（数学）所用的是一些特殊的非口语的语言：一些新的符号被定义，一些老的字符被重新定义而限制或改变其意义。这种精细的、外延的语言很少联系到课堂外的生活。”我们主要讨论其以下两个特点。

1.1 数学语言的精确性及确定性

较之自然语言，数学语言的精确性表现在自身不存在歧义的现象。例如，向量空间中个向量的线性相关的定义。如果存在数域中不全为零的数，使得，那么就说线性相关。由此定义，可以准确严密地推知个向量线性无关的概念，即，仅当时，上述线性表示式才成立，那么就说，个向量线性无关。由此定义，定义中的关键字“不全为零的数”和“仅当”，简短而有力地说明了以下两种情形都是错误的。第一种情形：如果线性相关，那么其中每一个均不为零；第二种情形：如果当时，，那么线性无关。

数学语言的准确性克服了自然语言在描述对象过程中含糊不清等缺陷，便于快速而又深刻地认识事物的本质属性。但是，切记数学的精确性和所谓的模糊数学是没有任何冲突的，模糊数学是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具，其在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

1.2 数学语言的通用性和统一性

随着全球化的加速，数学的发展也逐渐形成了国际化的趋势，数学语言的民族性、地域性程度越来越低，而统一性、通用性程度越来越高，这是不争的事实。数学知识的产生、传播以及被接纳的过程，不会因为国度的不同、民族的不同、语言的不同而有所阻碍。例如，数学分析中数列极限的概念可以表示为“”，不论在哪个国家，也不论所面对的学习者持有什么语种为母语，只要学习者具备在一定基础，这个式子就足以表达数列极限的概念。当然这种特性主要来自于数学语言的分类——符号语言。

2 数学语言的分类

从表述形式看，数学语言可归结为文字语言、符号语言和图形语言三类。文字语言严格地确定和明晰了数学对象及其相互内在的关系，高度抽象和概括了数学对象的特性，进而深刻地揭示了数学对象的本质。例如“两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量”，“一个向量空间本身和零空间叫作这个空间的平凡子空间”，“一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩”，“矩阵变换的性质：初等变换不改变矩阵的秩”和“线性方程组可解的判别法：线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩”等等。作为数学语言通用性和统一性的基本载体，符号语言是数学中一种最常用的且具有高度抽象性的语言，符号是简缩思维、提高思维效率的根本。例如，“”，“”，“”，“”，“极限的唯一性：若则”等等，都是通过符号语言阐述数学对象的特性。图表语言是指用各种图或表来表达一定的数学信息，可划分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合文氏图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和表格语言（统计数据表、分析表、框图等）。

三种数学语言各有其优点和不足之处：文字语言虽然更符合大家的接触和接受各种书本知识的习惯，但是较强的逻辑性要求，使得文字叙述较为繁杂，不易表露知识的内在结构；数学符号虽然高度抽象，但精准简洁，描述起来给人以较强的结构感；图表语言更形象直观，容易形成表象且易理解。一种数学思想内容的表述通常是由以上三种专业语言和自然语言的优势相互补充进而有机结合的过程。

3 数学语言的教学策略

数学语言在数学的教与学互动过程中起着至关重要的作用，否则授课和听课岂不是“对牛弹琴”的节奏。同时掌握一定程度的数学语言，对于自身的终身数学学习都有着深远的影响。

3.1 教师在备课和授课过程中充分应用文字语言、符号语言和图表语言的优点

数学语言的不同类型各有自己的特点，从认知结构中再现概念的表现形式是多样的：提到“一条线段的中点”时，人们脑子里出现的往往不是文字的定义，而是线段中间的那个点；看到“克莱因瓶”往往会联想到其相应的欧拉公式或图形；提到“一个集合的平凡子集”，就会想到“空集和自身”这几个字。一个数学问题，根据其中的数学对象的特点，在人们的脑海里唤起的不同的数学语言——文字语言、符号语言和图表语言，使得人们瞬时重组脑海中数学语言具体的信息，从而加深理解和灵活应用。

例：对函数定义的描述。满射函数：（文字语言）设是到的一个映射。如果，那么就称是到上的一个映射，这时也称是一个满射。

（符号语言），，且，使得。

（图像语言）

总之要灵活运用数学语言将问题转换，使学生从不同角度多个侧面去了解、熟悉所要学习的概念，帮助其加深理解数学知识的含义。所以，为了让学生学会充分利用各种数学语言的优点，教师就必须以身作则，充分备课，在课堂上用多种语言给学生解释数学对象的特点和内涵，以言传身教来影响学生，从而有效地进行教与学的数学活动。

3.2 培养学生通过数学语言进行交流

数学交流是数学教与学的过程中必备的一个环节。为了提高数学语言运用水平，可结合课堂教学内容进行拟定，制定相应的数学语言“规范化”训练的目标和方案。比如开设讨论班、对学生进行一定难度的新知识讲解等丰富多彩的数学活动，用自己掌握的数学语言说出已有和自身产生的数学知识、思想方法及解决问题的过程与策略等。在“说”数学的过程中梳理自己的解题思路及方法，把不连续的散乱的思维理清、理顺，鼓励和表扬他们所表达的数学思想和方法，从而建立自信心。例如，在讲解函数在某一点的连续性对“函数在点处连续”，把这个文字语言转换为符号语言，尽量将极限的唯一性和左右极限都考虑进去，“”。

另外，应当加强数学阅读指导。语言来自于大量的阅读，这是不争的事实。重视数学阅读，培养阅读能力，符合现代“终身教育，终身学习”的教育思想。我们教师在授课的过程中，一定要谨记“授人以鱼，不如授人以渔”。因此，为了提高整个民族的数学素质，必须从数学阅读起步，有层次地、阶段性地将数学阅读充分在数学教学过程中展开。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]鲍建生.数学语言的教学[J].数学通报，1992（10）：2.

[3]陈水利.模糊集理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，2005.

[4]钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999.