引之以思，导之以想

周强

[摘 要] 本文以新课标数学思想为指导，有意识地选择一种几何题型，精心设计改编，意在引导学生解决时逐渐渗透数学思想，同时希望一线教师对其予以关注与思考.

[关键词] 几何题型；数学思想；方法

纵观近几年中考几何题，主要考查几何图形、函数、方程、全等、相似等重要知识与数学思想的结合. 通过以下例题的分析，我们发现在几何问题中体现的数学思想方法并不单一，综合体现了两到三种不同的数学思想方法. 如果能熟练掌握数学思想方法，就会使解决几何问题更加快捷、简便、准确. 因此，在教学中为了实现这一难点的突破，笔者有意识地选择一种几何题型，精心设计改编，在引导学生解决时逐渐渗透函数思想、方程思想、转化思想，以期培养学生运用数学思想方法解决问题的意识和运用数学思想方法解决具体问题的能力.

引例 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为AB，BC，CD边上的点，EB=3 cm，GC=4 cm，连接EF，FG，GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为______cm.

以下是我们探索该题以不同的数学思想为指引形成的不同解法：

方程法

法一：

【分析】 通过题目中的已知条件EB=3 cm，GC=4 cm，设等边三角形EFG的边长为a，结合Rt△BEF，Rt△CFG和Rt△GME，利用勾股定理建立方程，可以求出BF，CF，GM，利用BF+CF=GM建立方程，求得等边三角形的边长，从而求得正方形的边长.

【解答】 过G作GM⊥AB于M，设EF=FG=GE=a，a>0. ME=CG-BE=4-3=1.

【点评】 此方法辅助线易作，入手简单，是大多数学生容易想到的方法，不足之处在于计算起来稍显烦琐. 属于“入门较易，出门较难”的方法.

法二：

【分析】 通过题目中的已知条件EB=3 cm，GC=4 cm，等边三角形EFG中EF=GF，结合Rt△BEF和Rt△CFG，利用勾股定理建立方程，求出BF，CF即可求出正方形ABCD的边长BC.

【点评】 此法是方程思想在几何问题中的运用，学生易下手，不易求解，对解方程的能力要求较高，特别是 8x2-14xy-15y2=0的分解有一定的难度，所以很多学生在此题上“入门较快，出门较慢”.

构造法

【分析】 通过等边三角形EFG中EF=FG，联想到全等三角形，再利用等边三角形EFG中∠EFG=60°，结合三角形的外角定理联想到构造一个60°的角，加上正方形中∠B=∠C=90°，即构造一个30°的角便可得到60°的角.

【点评】 此法不易想到，对学生要求很高，要求学生对特殊角的三角函数、全等三角形以及几何构造思想非常熟悉. 作辅助线是本方法的难点，利用辅助线将长度问题转化到全等图形中来解决，使计算难度大大降低，体现了转化的数学思想，此方法属于“入门难，出门易”.

旋转法

【分析】 通过等边三角形EFG中FE=FG，联想到旋转，故将Rt△FCG绕着点F逆时针旋转60°，得到Rt△FPE. 连接CP，FP，可证明△CPF为等边三角形. 延长EP交BC的延长线于点Q，可得到一个含30°角的Rt△FPQ.

【点评】 此方法难点有三，一是不易想到旋转的方法构造新的图形，而是不能及时反应出旋转过后的△CPF为等边三角形，最后不太容易反应出△FPQ是一个含30°角的直角三角形. 本方法难于想到，计算复杂，属于“入门难，出门难”.

近几年中考几何题主要通过变换课本原题或模拟题的视角、解题策略编成，主要考查函数、方程、全等、相似等重要知识点在几何图形中的运用. 通过实践探索，我们发现，对学生而言，引导其建立数学思想，将成为突破难点的金钥匙，通常结合两到三种不同的数学思想方法，连同数形结合，渗透、发展学生利用数学思想解决问题的能力. 若能熟练掌握数学思想方法，则使解决几何问题更加快捷、简便、准确，也更加能够使学生做到举一反三，触类旁通. 因此，一线教师在教学活动中应该有意识地选择此类题目，在题目中逐渐渗透函数思想、方程思想、转化思想，培养学生运用数学思想方法解决问题的意识，逐步养成运用数学思想方法解决具体问题的能力.endprint