用数学思想引领高三复习教学——以“函数与方程思想”破解“函数零点与方程的根”为例

☉江苏省清浦中学 吴洪生

2015年江苏高考数学《考试说明》将“函数与方程”考点由过去的A级要求提升为B级要求，足见“函数与方程”在高考中的重要地位.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着十分密切的联系.很多函数问题需要用方程的知识与方法来支持；很多方程的问题，需要用函数的知识与方法去解决.

函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，本质是实现函数与方程的相互转化.一个函数若有解析式，那么这个解析式就可看成一个方程，如函数y=f（x）也可看成二元方程f（x）－y=0；反之，一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程就可看成函数.

一、教学目标要求

（1）理解并掌握“一个定理”、“两个转化”.

“一个定理”即函数零点存在定理：条件①f（x）在区间［a，b］上连续；②f（a）·f（b）＜0.结论：存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

两个转化：①零点与方程的根的相互转化：函数y=f（x）的零点⇔方程f（x）=0的根；②零点与函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的相互转化：函数y=f（x）的零点⇔函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标；函数y=f（x）－g（x）的零点⇔函数y=f（x）与y=g（x）图像交点的横坐标.特别地，如果f（x）=g（x）－a，则函数y=f（x）的零点⇔函数y=g（x）的图像与直线y=a交点的横坐标.透彻理解“函数的零点、方程的根、函数图像交点的横坐标”的意义是实现上述转化的关键.

（2）通过复习使学生强化对函数与方程相互转化的认识与理解，进而解决函数的零点、方程的根及相关参数问题.提高学生分析问题、解决问题的能力.

二、把握函数与方程思想的内涵

函数问题的方程思想，方程问题的函数视角，是函数与方程思想在处理数学问题时的具体体现.

（一）从函数视角研究方程根的问题

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是通过建立函数，运用函数的图像、性质去分析问题、解决问题.函数思想不仅仅是用函数的方法研究问题，更重要的是产生函数的方法，上升到思想高度主动思考问题.方程问题的函数视角就是利用函数的图像、性质来研究方程的根及其范围问题.

1.用函数图像研究方程根的问题

利用导数知识画出h（x）的图像，如图1，h（x）=1及h（x）=－1各有2个实数根.所以方程|f（x）+g（x）|=1的实根个数为4.

图1

点评：由函数的零点、方程的根、图像的交点三者之间的转化关系可知，图像法是解决方程根的问题的最常用方法，图像也是它们之间联系的桥梁.本题函数h（x）的图像比较难画，需要综合运用函数与导数等知识.

2.用函数奇偶性研究方程根的问题

点评：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，函数图像与x轴正半轴有交点必与负半轴有交点，因此，对于奇、偶函数零点的研究，往往只需考虑大于0或小于0的零点，便知另一侧的零点情况.

3.用函数对称性研究方程根的问题

图2

点评：本题三次应用对称关系，函数本身是奇函数，其图像关于原点对称，两次局部应用轴对称，从而把求5个根和的问题转化为求x5.轻松解决了貌似很难的问题.

4.用导数研究方程根的问题

例4 已知方程ax3－3x2+1=0存在唯一的根x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是_______.

解析：构造函数f（x）=ax3－3x2+1.

若a＞0，则f（－1）=－a－2＜0，f（0）=1＞0，所以f（x）存在负的零点，不合题意.

综上，a的取值范围是（－∞，－2）.

点评：本题首先将方程根的问题转化为函数零点问题，借助导数勾画函数草图，依题意可知f（x）的极小值大于0，从而确定a的取值范围.

5.用函数伸缩变换研究方程根的问题

图3

注意：（1）f（1）=f（2）=f（22）=f（23）=…=f（210）=0；

所以，两函数图像共有11个交点，方程2xf（x）－3=0在区间（1，2015）上有11个根.

点评：本题的本质是借助函数图像研究方程的根，但作函数图像包含图像的伸缩变换，因此作图较为困难，必须熟练掌握伸缩变换规律.

6.用函数单调性研究方程根的问题

例6 设函数f（x）=x3+2x2－4x+2a.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）关于x的方程f（x）=a2在［－3，2］上有三个相异的实根，求a的取值范围.

解析：（1）f′（x）=3x2+4x－4.

（2）由f（x）=a2⇔x3+2x2－4x－a2+2a=0，

构造函数g（x）=x3+2x2－4x－a2+2a.

所以g′（x）=3x2+4x－4.

解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.

点评：（1）先求f′（x），由f′（x）=0求出极值点，再讨论单调性；（2）利用（1）及函数f（x）的大致图形，找到满足题设的a的条件.

7.用函数周期性研究方程根的问题

例7 定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（－1，4］时，f（x）=x2－2x，则函数f（x）=0在［0，2013］上的根的个数是_______.

解析：由f（x）+f（x+5）=16，可知f（x+5）+f（x+10）=16，则f（x）=f（x+10），所以f（x）是以10为周期的周期函数.在一个周期（－1，9］上，函数f（x）=x2－2x在x∈（－1，4］内有3个零点，在x∈（4，9］内无零点，故f（x）在一个周期上仅有3个零点，由于区间（3，2013］中包含201个周期，又x∈［0，3］时也存在一个零点x=2，故f（x）=0在［0，2013］上的根的个数为3×201+1=604.

点评：周期性是函数的一种重要性质，一般来讲，当所研究的区间相对较长时，题目往往与周期性有关.

（二）用方程思想研究函数的零点问题

方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设（未知量）、列（方程（组））、解（方程（组））等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想.函数中的零点问题或两个函数图像的交点问题，常常化动为静，转化为方程的根来解，这就是函数问题的方程思想.

1.可通过直接解方程研究函数的零点问题

解析：令f（x）=t，方程f（t）－1=0的根为t1=0，t2=2，由f（x）=0，得x1=1；由f（x）=2，得x2=4.故有2个零点.

点评：直接求零点，令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

2.可通过三角方程研究函数的零点问题

例9 （2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间［0，2π］上的零点个数为________.

点评：三角函数的零点相对于我们常见的初等函数的零点要复杂一些，需要综合运用三角函数的图像、特殊值、取值范围等知识.例9主要考查三角函数特殊值，例10综合考查三角变换、辅助角公式、取值范围、函数零点等考点.

3.可通过方程运算研究函数的零点问题

A.x1x2＜1 B.x1x2＞x1+x2

C.x1x2＜x1+x2D.x1x2=x1+x2

4.可用二次方程根的分布研究函数的零点问题

图4

点评：函数是方程与不等式的“中介”，它们既有区别，又联系紧密.本题主要是通过二次方程根的研究，来探究函数的零点，而研究二次方程根的分布，又依赖于不等式理论的支撑.本题是对函数与方程的综合考查.

三、总结提炼，登高望远

高三复习的主要目的就是提炼并建构数学思想方法体系，使解题策略与方法明确化、系统化.复习课的首要任务是把学生先前所学的知识连成线、铺成面、织成网，实现融会贯通.这就要求我们登高望远，站在思想方法的高度进行复习教学，不仅要让学生知道解题的方法、有几种方法？更应让学生了解这些方法有何联系？是如何发现的？这样才能有效提高复习的效率.如果说数学思想方法是根，那么解题方法就是叶，正所谓根深自然叶茂.

“函数与方程”是高三复习的核心内容与基本思想，一直受到高考命题专家的青睐，通过对这一思想方法的考查，可以检测学生的思维能力、转化能力、运算能力，从而实现知识向能力的转化.对于此类问题的探究与考查，大多考查零点的个数及字母的取值范围.（1）零点个数的考查主要是利用转化思想，转化为对应方程的根的个数或对应函数图像与x轴的交点个数来研究；（2）字母取值范围问题的考查主要是：①根据平移理论，结合零点个数平移直线，进而确定字母的范围；②转化为函数的值域来加以研究.因此，用“函数与方程思想”破解“函数零点与方程的根”，仅是数学思想方法论的一方面，还可通过数形结合思想、转化思想去解决，或多种数学思想方法联合应用.