课堂实录——对求椭圆离心率范围问题的探究

刘华荣

椭圆的离心率问题为高考命题中的热点内容，它重视椭圆几何性质探索的同时还参人一些不太复杂的代数运算，多数属于中档题范畴。教学中我们发现很多同学对求离心率值的问题表现得游刃有余，但对求离心率的范围问题却望而生畏.本文在一道题的背景下探索了如何去寻找和建立基本量a，b，c的不等关系，希望能协助大家突破此处的瓶颈。

一、抽丝剥茧，课堂讨论

师：此题是课本中一道习题的改编，求离心率的值只要寻找基本量a，b，c的等式，自然求离心率的范围问题只要寻找基本量a，b，c的一组不等关系式即可。通过同学们对此题的思考和探讨，相信在解法上已有很多不同的看法。

师：很不错，比较简单。此法是充分运用焦点三角形中边与边的关系，结合基本不等式寻找基本量a，b，c的不等关系.可以归纳为涉及椭圆焦点三角形的问题要充分挖掘解三角形、椭圆的定义（包括圆锥曲线的统一定义）及基本不等式的相关知识，寻找边长与慕本量的相百关系。

师：大家回答得非常好，此法与生4的解法实质是一样的，属于填空题解法中常见的临界法，解题较为方便。我们将此题加以推广，应该也可以解决钝角、锐角以及其他特殊角的问题，选择动点运动的临界位置有时能让解题事半功倍。

二、取精用弘，小试牛刀

根据上面引例的分析，在众多的解法中，临界法在解题中效率甚高，我们可以小试身手。

三、得心应手，不忘本质

在用动点的特殊位置解题得心应手的同时，却不可一味处处套用，更多的是要考虑到椭网本身蕴含的本质知识，如椭网的定义、椭网的焦半径、焦点三角形中关联的知识等。

四、静心思考，总结心得

解决椭圆离心率的取值范围问题时，要学会在题目中寻找基本量a，b，c之间的一组不等关系，而常见的椭圆（双曲线）上存在一点满足某条件去求离心率的范围问题我们可以尝试以下的思考途径：

（3）焦点三角形中运用椭网的定义、余弦定理结合基本不等式寻找基本量的不等关系。

（4）结合题干中的几何特性寻找动点运动的临界位置。

以上的内容希望能助大家对椭网离心率范围问题有系统的认识，能准确地分析题意并正确解答，扫清复习路上的障碍。