听故事 赏概率

甘志国

库珀教授的数学课

一天，美国斯坦福大学商学院的数学教授库珀让同学们把自己的生日写在小纸片上，然后把所有的小纸片都折起来放在讲台上。他拿出一张5美元的钞票放在讲台上，问：“我用5美元打赌，你们中至少有两个人同月同日生.有人敢跟我赌吗？”

“我赌！”三个男同学同时举起手来.另外还有七八个同学也各掏出 5美元放在桌子上。

有的同学暗想：一年有365天，我们班只有50个同学，在同一天过生日的可能性也太小了，教授这不是白送别人钱吗？

教授打开第一张纸，读出上面写的日期，马上就有三个同学举起手来表示那是他们的生日。打赌的同学嘟囔了几句：“怎么会这么巧？”周围的同学都大笑起来。

接着，教授用他那明晰的语言把同学们带入了数学的王国：

“解决这个问题最好用反证法，即证明50个人中没有两个人在同一天过生日的概率非常小。

“为了简便，我们可以假设一年为365天（即不考虑闰年的情形）。把365天看成365间房，现在要给50个人按照生日安排住房，必须保证没有两个人住在同一间房（即没有两人的生日在同一天）。对于第一个人来说，他正确选择房间的概率是365/365，因为所有的房间都是空的，他都可以入住；第一个人入住后，第二个人正确选择房间的概率是364/365，因为有一间房已经住了人，他只能住另外的364间中的一间；接下来的第三个人，正确选择房间的概率就更小一些，是363/365，因为只剩下363间房可以住。

说完，教授扔下粉笔，得意洋洋地收缴他的战利品——十几张5美元的钞票。

“各位，你们来商学院就是为了将来能够赚大钱，概率就是商学院传授给你们的一个制胜法宝。”

同学们哈哈大笑，这堂课的效果好极了。库珀教授下课后，用赢来的钱请全班同学吃了顿快餐。

注1.读者还可算出，在n（n=1，2，…，365）个人中至少有两人在同一天过生日的概

3.我们在武侠言情小说中经常见到“两人生日恰好相同，真是有缘……最终结为金兰之好”这样的描写，其中的“生日相同”应不足为奇，“结为金兰”的美好结局也是概率帮的忙。

能打开所有门的钥匙

我的一个朋友在一所大学里当宿舍管理员，有一次聊天，她告诉我一件有趣的事情。

她管理的那个楼住着一群男生，每个宿舍四个人，每个人有一把该宿舍的钥匙。这些学生很爱睡懒觉，总爱拖到快上课了才匆匆忙忙地起来刷牙洗脸，然后直奔教室。等到下课回来，一摸口袋，坏了，钥匙忘在宿舍里了，于是只能等其他同学回来开门：四个人中总有一两个人带着钥匙。可总有那么几次，四个人全忘了带钥匙，于是全被堵在宿舍外了.没办法，只能来找宿舍管理员，也就是我的朋友，她保管着整个楼所有宿舍的备份钥匙。

次数多了，朋友便觉得麻烦。她定了个规矩，每个宿舍每学期来找她要钥匙的次数不得超过三次，超过三次者，自己找工具把锁撬开，然后再掏钱买把新的。

期末的时候，朋友把所有宿舍的情况做了一次统计，她发现了一个有趣的现象：5楼几个连在一起的宿舍，501到506，居然一次也没来麻烦她开过门！一次记录也没有的宿舍不是没有，可现在有六个宿舍，而且还是连在一起的。这引起了朋友的兴趣。

为了解开心里的疑团，朋友特地敲开了504的门，终于知道了他们的秘密。原来，他们每个宿舍都另外配了一把开自己宿舍门的新钥匙，存放到下一个宿舍中，这么说吧，把六个宿舍和六把钥匙分别编上号，他们的办法就是：把钥匙一存放到宿舍二，把钥匙二存放到宿舍三，依此类推，最后把钥匙六存放到宿舍一。这么一来，二十四个人中只要有一个人带了钥匙，那所有人都不会被堵在宿舍外：因为只要有一把钥匙，就能先打开一道门，然后取得第二把钥匙打开第二道门，就这样，一直到打开所有的门。

听到这里，我忍不住拿出笔来算了一下，假设每个学生忘记带钥匙的几率是50%（实际上应该小于这个数字），那么会不会出现二十四个学生都不带钥匙的情况呢？理论上是可能的，由概率论可以算出，这个几率应该是1/16777216——几近于零！

我不禁佩服起这一群聪明的小伙子来。他们互相信任，彼此合作，一盘散沙，各自为战时，每个人都有手忙脚乱的时候；而只有并肩站到一起，共同面对问题，才能挖掘出最大的潜能，这时候，问题往往变得不堪一击，因为这时候，每个人手里都多了一把钥匙，一把能打开所有门的钥匙。

阅读完上面的文字后，我们还可解答下面的三个小问题（假设每个学生忘记带钥匙的概率是50%）：

（1）同一宿舍的四个人都忘记带钥匙的概率是多少？

（2）同一宿舍的四个人都忘记带钥匙达到四次（自己找工具把锁撬开，然后再掏钱买把新的）的概率是多少？

（3）采取上文中的防范措施后，同一宿舍的四个人都忘记带钥匙达到四次（自己找工具把锁撬开，然后再掏钱买把新的钥匙）的概率是多少？

概率帮了盟军

1943年，正值第二次世界大战.在此之前，在大西洋上的英、美运输船队常常受到德国潜艇的袭击.当时，英、美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与德军潜艇相遇是一个随机事件。按数学角度来看这一问题，有一定的规律，一定数量的船只（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向自己预定的港口，结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。