复数域上低次代数中的对合计算
2015-07-07张巧红石晓磊
张巧红，石晓磊
（长治学院 数学系，山西 长治 046000）
复数域上低次代数中的对合计算
张巧红，石晓磊
（长治学院 数学系，山西 长治 046000）
在矩阵理论中，称满足条件A2=E的矩阵为对合矩阵。文章主要类比对合矩阵，讨论在复数域上的三次及四次代数中的对合计算，给出复数域上的三次及四次代数中向量方程v2=e的所有可能的解.
群；代数；对合
1 预备知识
定义1[1]191设V是数域P上的线性空间，G是一个群，且G中的元素是V中的一组基.在V上除了定义了加法，数乘运算之外还定义了乘法运算.定义了乘法运算的线性空间V若满足乘法对加法的分配律，并且对于任意v1，v2∈V及任意k∈P，有：
则称V是一个代数.
注：当G为乘群[2]10时，则称V为群代数；
代数V的乘群（G，·）如果是半群，则称V为结合代数；
代数V作为数域P上线性空间的维数，称为V的次数.
例如：Mn(P)是域P上的所有n阶方阵组成的集合，显然它是P上的一个代数.
2 复数域上三次代数中的对合计算
定理1 设群G=={a，a2，e}，V3={k1a+k2a2+ k3e|k1，k2，k3∈C}，则V3是一个三维线性空间，a，a2，e就是该三维线性空间的一组基，且V3也是一个代数.
证明：任取 V3中的元素 v1，v2,不妨设v1=r1a+r2a2+r3e，v2=s1a+s2a2+s3e,定义v1+v2=(r1a+r2a2+r3e)+(s1a+s2a2+s3e)=(r1+s1)a+(r2+s2)a2+ (r3+s3)e,则加法满足封闭性；任取 k∈C及 v=k1a+k2a2+k3e∈V3, 定 义 kv=k (k1a+k2a2+k3e) =kk1a+kk2a2+kk3e∈V3，则数量乘法满足封闭性.易证加法和数乘运算满足线性空间定义[3]248中的八条运算规则，从而V3对上述定义的加法和数乘运算构成复数域C上的线性空间.
因为V3中任一个元素均可由a，a2，e线性表出，现假设k1a+k2a2+k3e=0，必有k1=k2=k3=0.若否，不妨设k1≠0，k2=k3=0，则有k1a=0，由k1≠0得a=0，矛盾,故a，a2，e是线性空间V3的一组基，其维数为3.
下证V3是复数域C上的三次代数：任取v1，v2∈V3，不妨设v1=r1a+r2a2+r3e，v2=s1a+s2a2+s3e在V3中定义一个乘法运算 v1v2= (r1s3+r3s1+r2s2)a+ (r1s1+r2s3+r3s2)a2+(r1s2+r2s1+r3s3)e,故 v1v2∈V3，且易证乘法对加法满足分配律.又对于任意的v1,v2∈V及k∈C，可证得k(v1v2)=(kv1)v2=v1(kv2)成立，故V3是复数域C上的三次代数，且为群代数.
注：由于V3关于乘法构成半群，故V3是一结合代数.
下在V3中求v2=e的解.在V3中任取一元素v=r1a+r2a2+r3e，若v2=e，则v2=(2r1r3+r22)a+(2r2r3+r12)a22+ (2r1r2+r32)e=e
变形得
解该方程组可得(r1r2r3)为:
由上可得：复数域上三次代数中方程v2=e的解的个数是23=8.
3 复数域上四次代数中的对合计算
下在V4中求解方程组v2=e.对任意
对比系数得：
解该方程组可得(k1,k2,k3,k4)为:
由上可得：复数域上四次代数中方程v2=e的解的个数是24=16.
［1］徐明曜.有限群导引［M］.北京:科学出版社,1999.
［2］唐高华.近世代数［M］.北京:清华大学出版社, 2008.
［3］北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数（第三版）［M］.北京:高等教育出版社,2003.
Zhang Qiao-hong Shi Xiao-lei
（Department of Mathematics，changzhi University，changzhi shanxi，046000）
A matrix is called an involution if A2=E.The article deals with the involution calculation in low-dimensional C-algebra,where C is the complex domain.All the solutions of the equation v2=e in low-dimensional C-algebra have been listed here.
Group；algebra；Involution
O15
A
1673-2015（2015）02-0032-02
（责任编辑 赵巨涛）
2014—12—13
张巧红（1980—）女,山西高平人，硕士，主要从事基础数学研究。
