接地导体圆筒内带电正六棱柱的电场及系统的电容

2015-07-07王福谦

长治学院学报 2015年2期

关键词：电容量棱柱六边形

王福谦

（长治学院电子信息与物理系，山西长治 046011）

接地导体圆筒内带电正六棱柱的电场及系统的电容

王福谦

（长治学院电子信息与物理系，山西长治 046011）

利用数值保角变换，给出接地导体圆筒内带电正六棱柱体电场的分布规律，绘制出其横截面上的电场线与等势线图，并计算该导体系统单位长度的电容。

接地导体圆筒；带电正六棱柱；数值保角变换；电场分布；电容

接地导体圆筒内带电圆柱的电场分布及系统电容的分析，常见于有关“电磁场与电磁波”教材中，但对于接地圆筒内带电正六棱柱的情形，其电场分布及单位长度电容量的讨论，相关文献还未见涉及。由于该系统横截面上的正六边形和圆不属于同一族正交坐标系，因此严格地求解拉普拉斯方程十分困难，故其内部的电场分布和电容量，一般不能用常规解析法直接求解。为此，文章拟利用数值保角变换，研究接地导体圆筒内正六棱柱体电场的分布规律，绘制出其横截面上的电场线与等势线图，并给出精度较高的该导体系统单位长度电容的计算公式。

1 内六棱柱-外圆筒横截面的变换

将z平面上边长为a正六边形的外部变换为w平面上单位圆的外部的变换函数为：[1]

图1为接地圆筒内带电正六棱柱系统的横截面，其内、外均为金属导体。边长和半径分别为a和b，则由式（1）可实现该导体系统横截面的变换。内正六边形变换为单位圆，外圆变换为位于之间的具有与正六边形相同对称性的闭合曲线[见图2中的闭合曲线，该曲线由式（1）通过MATLAB软件绘制]，而r1、r2及其几何平均半径的数值如下：[1]

经上述数值保角变换后，z平面上的边长a为的正六边形和半径为b的圆，就映射为w平面上的单位圆和位于半径分别r1、r2之间的具有与正六边形相同对称性的闭合曲线。由于在w平面上该系统的内导体的横截面的形状为圆，外导体可近似看作半径为的圆（见图2），其内部电场在该截面上的分布近似呈轴对称性，故在w平面上可近似地按同轴带电圆柱体的情形来讨论电场的分布规律。再根据变换关系变换到z平面，最终得到接地圆筒内带电正六棱柱的电场分布，并根据变换结论计算出该导体系统单位长度的电容量。

2 内带电正六棱柱-外接地圆筒系统的电场分布

设内正六棱柱-外接地圆筒系统内、外导体之间的电压为V0，由于保角变换并不能改变内、外两导体之间的电压，故变换后的近似同轴圆柱系统（内半径为1，外半径近似为）内、外两导体间的电压仍为V0。

图1 变换前的内正六棱柱-外圆筒系统的横截面

对带电同轴圆柱系统，其中的电场分布是径向的[2]375-381，大小与半径成反比。即：

式中er为同轴圆柱系统横截面上的径向单位矢，A为与电场幅值有关的常数。而

图2 变换后前的内正六棱柱-外圆筒系统的横截面

则

在变换后的w平面上，内正六棱柱-外接地圆筒系统的横截面映射为同心圆，故内正六棱柱-外接地圆筒系统内的电势分布为：

将式(1)代入上式，即得内正六棱柱-外接地圆筒系统内的电势分布为：

式（5）即为内带电正六棱柱-外接地圆筒系统内的电势分布表达式，其中

内带电正六棱柱-外接地圆筒系统内的场强分布的表达式，可进一步通过电势与场强的微分关系E=-∇φ求得。

图3 内带电正六棱柱-外接地圆筒系统横截面上的电场线与等势线（面）图（a=2cm，b=4cm）

图4 内带电正六棱柱-外接地圆筒系统横截面上的电场线与等势线（面）图（a=4cm，b=6cm）

图3和图4为利用MATLAB软件所绘制出的内带电正六棱柱-外接地圆筒系统的电场线与等势线（面）图。从该图可以看出，电场在带电系统横截面上呈对称分布，作出的图与预期结果（电场线与等势线及导体表面均垂直）相符。

3 内正六棱柱-外接地圆筒系统单位长度的电容

经变换式（1）和（4），内正六棱柱-外圆筒的横截面已映射为半径分别为1和两近似同心圆。由于映射前后传输线单位长度的电容量保持不变，这样就可由内、外半径分别为1和同轴圆柱的电容值，通过公式方便地求出此系统电容的近似值。据此，内正六棱柱-外圆筒单位长度电容的计算公式如下：

其中ε为内正六棱柱外接地圆筒填充介质的介电常数，当其内部为空气时，介质的电磁参量取ε0。

需要说明的是，由于电荷的角效应，内导体棱角处电荷密度大，而每边中点处的电荷密度小。对变换后的图2而言，内圆柱导体与无电荷角效应的外切圆弧之间的电容，要比其与内切圆弧之间的电容要大。所以，对于用内切圆和外切圆的边界尺寸取几何平均来“逼近”变换后的多边形外导体边界。由于交替出现了电容增大和电容减小的情况，故对计算总平均电容来说，电荷角效应的影响很小。因此，由式（6）计算出的内正六棱柱外圆筒电容的近似值，具有较高的精确度。表1中分别列出了相应计算方法与多极理论及矩量法所得的结果（介质为空气）。通过比较可以看出，文章的计算结果与由多极理论的计算结果相当接近，相对误差的最大值为7‰，最小值为2.7‰，平均相对误差为3.9‰。表1中的计算结果也与文献[3-6]给出的数据几乎一致，相对差值均在2‰以内。由此也可佐证本文所给出的研究方法的正确性，文献[7]所给出的矩量法的计算结果稍有误差。

式（6）为内正六棱柱-外圆筒电容量的解析计算式。通过保角变换法计算复杂截面传输线的特性阻抗，公式推导过程简单，物理意义明确，精确度很高，可方便地计算任意尺寸的内正六棱柱-外圆筒的电容量。复杂截面系统的电容量也可用多极理论或矩量法计算，但多极理论准解析计算规则需要针对不同情形确定不同的内极、外极和极的次数等，原理相对复杂。而矩量法需对计算区域进行离散化处理，离散网格尺寸大小是求解精确性的关键。一般而言，网格越小越精确，但由于减小网格尺寸势必造成未知量数目的增加，使得存储量和计算量大幅增加，因此矩量法计算复杂截面系统电容量的精度受计算机内存的限制，此即文献[7]所给出的用矩量法计算内正六棱柱-外圆筒电容的数值，与其他方法相比较稍有偏差的原因。

表1 内正六棱柱外接地圆筒的电容量C0(×10-11F)（R为外导体半径，r为内导体内接圆的半径,填充介质 ε=ε0、u=u0）

4 结束语

文章采用数值保角变换法对带电内正六棱柱外接地圆筒进行了研究，给出了该带电系统内电场的近似解析解，为不属于同一族正交坐标系的带电系统的电场分布的研究提供了一种思路和方法。这种方法物理意义明确、计算简单，所得结论对于研究内正六边形-外圆传输线内TEM波场结构及其特性阻抗的计算，亦具有一定的参考价值和理论意义。

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［6］Wheeler H A.Transmission-line Conductors of Various Cross Section.IEEE.Trans.Microwave Theory Tech，1980,MTT-28：73-83.

［7］吕文俊，曹伟，朱洪波.具有屏蔽导体的多导体传输线的矩量法分析［J］.南京邮电学院学报,2003，23（2）：21-25.

Wang Fu-qian

（Department of Electronic Information and Physics,Changzhi University,Changzhi,Shanxi 046011）

The electric field distribution of a charged regular hexagonal prism in the grounding conductor cylinder is proposed by using numerical conformal mapping,and field pattern on its cross section is plotted,furthermore，its capacitance of per unit length is calculated.

grounding conductor cylinde;a charged regular hexagonal prism;numerical conformal mapping;electric field distribution;capacitance