浅析高中数学不等式的应用

邱丽波

摘要：初中阶段就已经接触过一些简单的不等式的证明与解法，比如一元一次不等式，高中阶段在初中已有知识的基础上进一步研究不等式的解法与证明。在新课程教学理念不断深入教学的今天，对于作为数学基础理论的“不等式”，要如何根据高中“不等式”，在教学中的课程要求和高考《考试大纲》的要求高效地开展教学实践？通过本文的研究，我认为结合学生实际情况，有针对性、客观性地制定教学方案，精心设计、大胆创新，不断更新已有的教学理念，结合课本知识深入浅出、层层推进，重难点倾向性教学，以求在素质教学的指引下直击高考“不等式”的内容。以高考目标指引教学实践，以教学实践推进素质教育的开展。

关键词：高中数学；不等式；应用及解法

本文对高中数学不等式解法及应用进行研究，主要是通过几个常考点来阐述。高考对知识的掌握，不是单单地考查简单的知识，而是充满了灵活性，考查学生的创新意识，那么学生掌握书本上简单的知识点是不够的，高考的题型是由简单的知识组合而来的，需要同学们掌握通过现象看到本质的能力。

一、利用基本不等式、均值不等式解决最值问题

对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定式，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，有必要选择适当的方法以简化解题步骤。

当然不利用基本不等式也可以解决这道题，只是方法特别难想，而且操作起来也不是特别容易。

解法二：判别式法

解：令2x+y=t，则y=t-2x

4x2+y2+xy=1

4x2+（t-2x ）2+x（t-2x）=1

6x2_3tx+t2_1=0

△：9t2_-24（ t2-1）≥0，即t2≤8/5

所以-2√10/5≤2x+y≤2√10/5，即所以2x+y的最大值是2√10/5。

二、利用不等式解决恒成立问题

不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点。考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验淡淡不等式的恒成立问题的处理方法。

1.构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系.使问题更加清晰明了，一般来说已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数。

例2：已知函数f（x）=a-2/2x+1，a∈R是奇函数。

（1）求实数a的值。

（2）判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论。

（3）对Vt ∈R，不等式f[t2-（m-2）t]+f（t2一3/2m一1）>；0恒成立，求m的取值范围。

解：（1）f（x）的定义域是R，又因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，解得a=1。

（2）f（x）在（-∞，+∞）上为增函数。

证明：在（-∞，+∞）上任取两个不相等的实数x.，x2，且令x1<；x2，则Ax=x2-x1>；0。

△y=f（x2）-f（x1）=（1-2/2x2+1）-（1-2/2x1+1）=

2（2x2=2x1）/（ 2x1+1）（ 2x2+l）

因为x1<；x2，所以扣2x1<；2x2即2x2-2x1>；0。

因为2x1>；0，2x1>；0，所以△y>；0。

所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数。

（3）f[t2-（m-2）t]+f（t2-3/2m-1）>；0恒成立，

F[t2-（m-2）t]>；-f（t2-3/2m-1）

因为f（x）是奇函数， f（-x）=-f（x）

所以F[t2-（m-2）t]>；-f（t2-3/2m-1）

f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，t2-（m-2）t>；-t2+3/2m+1

整理得：2t2-（m-2）t-3/2m-1>；0恒成立

令f（x）=2t2-（m-2）t-3/2m-1，该二次函数函数值，恒大于零，因为开口向上。

只需 △<；O，解得m的取值范围是{m l-6<；m<；一2}

2.分离参数法

在不等式中求参数范围的过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离常数法。

例3：二次函数f（x）满足f（x+l ）-f（x）=2x且f（0）=0

（1）求f（x）的解析式。 ； （2）在区间[-1，1]上，r=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，求m的取值范围。

解：（1）待定系数法

设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），因为f（0）=0，所以c=0。

又因为f（x+l）-f（x）=2x，所以解得a=1，6 =-1，所以f（x）=x2-x。

（3）因为y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，所以x2-x>；2x+m恒成立。

即x2-3x>；m恒成立，只需求y=x2-3x在[-1，1]上的最小值，令最小值大于m即可。

解得y=x2-3x在[-1，1]上的最小值为-2，所以m的取值范围是{mlm<；-2}

三、不等式证明问题

比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。

1.比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较和作商比较两种基本途径。 ； 例4：已知a，b，c，求证：1/2a+1/2b+1/2c≥1/a+b+1/b+c+1/c+a

证明：a，b均为正数，

1/4a+1/4b-1/a+b=b（a+b）+a（a+b）-4ab/4ab（a+b）=（a-b）2/4ab（a+b）≥0 ； 同理1/4b+1/4c-1/b+c=（b-c）2/4bc（b+c）≥0，1/4c+1/4a=1/c+a=（c-a）2/4ac（a+c）≥0

三式相加，可得1/2a+1/2b+1/2c-1/a+b-1/b+c-1/c+a≥0

1/2a+1/2b+1/2c≥1/a+b+1/b+c+1/c+a

总结：在比较两个代数式的大小时，可借助它们的差的正负符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。在用商值比较法证明不等式时，要注意作商后的式子变形，分母、分子的正、负号，判断其商与1的比较大小以确定不等号的方向。

2.综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

例5：已知a，b∈R+，a+b：1，求证：（a+1/a）2+（b+1/b）2≥25/2

证明：∵a+b=1 ∴1=（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）

∴a2+b2≥1/2

∴（1+1/a）2+（b+1/b）2=（a2+b2）+4+（1/a2+1/b2）≥1/2+4+8=25/2

总结：用综合法证明不等式时，一般是从已知条件人手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

3.分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

综上可知，不等式作为中学阶段的重要内容和求解数学问题的重要工具，在高考命题中被淋漓尽致地体现了出来，它所涉及的内容的深度和广度是其他章节的知识和内容所无法相比的。因此，要想在高考中获得理想的成绩，必须高度重视不等式内容的复习和研究，既要掌握好不等式中的基本题型的解法，更要关注不等式与其他数学知识融合在一起的综合问题与应用问题的解法，强化运用数学思想方法指导解题的意识，提高应用不等式知识解题的能力。