灵活运用角平分线、平行线、等腰三角形知二推一解中考题

李志均

某些数学问题表面上看它们的条件和结论各不相同，但认真加以分析，透过现象挖掘本质属性，便会从中归纳出某些规律性的东西。本文介绍在一个图形中出现角平分线、平行线、等腰三角形的其中两个，我们可以利用知二推一或者作辅助线构造图形来解决问题，下面以中考试题为例进行分析、解答和点评，希望解答可以启迪学生思维和拓宽解题的思路。

【例1】（2014年江苏南通第15题）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接∵DAC，∠DA C=∠BAC。若BC=4cm，AD=5cm，则AB= _______cm.

【分析】这个图形中出现了角平分线AC和平行线AB∥DC，我们可以寻找到等腰△ADC。于是有DC=A D=5cm，再进一步解决问题。【解答】∵AB∥CD ∴∠DCA=∠BAC，

∵DAC=LBAC，∴∠DAC=LDCA，

∴CD=A D=5cm。

过点D作DEIAB于点E，

∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90。，

∴四边形BCDE是矩形，

∴BE=CD=5cm，DE=BC=4cm，∠DEA =900，

∴AE=、/4D2一DE2 P=3cm

∴AB=AE+BE=8cm。

【点评】此题考查了直角梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理。这里寻找到等腰△ADC，于是有DC=A D=5cm是关键；注意掌握辅助线的做法和数形结合思想的应用。此题也可以过C点作AD的垂线或者过C点作AD的平行线进行解答.

【例2】（2012年安徽省第22题）如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDC的周长相等，设BC=a，A C=b，A B=e。

（1）求线段BC的长；

（2）求证：DG平分∠EDF；

（3）连接CG，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥ CG。

【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=A C+AG，于是：

BG=

（2）由于这里要证明的是DG平分LEDF，而由点D、E分别是BC、AC的中点，利用三角形中位线的性质得到DE∥AB，所以必须找到等腰三角形才能解决问题。

由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=1/2A C=1/2b，由FG=BG-BF，可求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得DG平分∠EDF。

（3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明。 ； ； 【解答】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，

∴DE//1/2A B，DF//1/2AC，

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，

即BD+DG+BG=A C+CD+DG+A G。

∴BG=A C+A G

∵BG=A B-A G

∴BG=AB+AC/2=b+c/2

（2）证明：BCFG b+c/2=b+c/2-c/2-=b/2

∵DF=1/2AC： 1/2 b∴FG=DF.

∴FDG=∠FGD

又∵DE∥AB∴∠EDG=∠FGD

∴∠FDG=∠EDC=即DC即DG平分∠EDF。

（3）在△DFG中，∠DG=∠FGD.

∴△DFG是等腰三角形，

∵△BDG与△DFG相似，

∴△BDG是等腰三角形，

∴∠B=∠BGD，∴BD=DG.

则CD=BD=DG，

∴B、C、G三点共圆且BC为直径

∴∠BCC=90°∴BG⊥CG。

【点评】这是一道几何综合题，在计算或证明时，根据题中已知条件，结合图形特征来完成；后面的问题可以结合前面问题来做。这里证明△DFG为等腰三角形是关键。