如何整体把握三角函数的数学

徐见明

“整体把握三角函数的教学”是一个很大的课题，下面笔者就从整体把握教与学这两个方面泛泛地淡谈本人对“三角函数”这部分内容的理解与思考。

一、理清知识结构及前后知识的系统性

1.必修四的内容安排：三角函数一平面向量一三角恒等变形。这册书内容安排的内在联系非常密切，其中把平面向量放在三角函数和三角恒等变形之间，起到承上启下的作用，只有先学习三角函数，A‘能更有利于学习平面向量，学生A-能理解平面向量数量积的含义，而三角恒等变形的公式cos（α-β）=Cosα-cosβ+sinαsinβ就是利用平面向量的方法进行证明，并在此证明基础上利用换元法证明了其他和、差角公式及二倍角公式，很显然我们老师要理解和体会这样的设计意图。

2.三角函数内在的知识结构。三角函数的定义：

三角函数的诱导公式

同角三角关系

三角函数的图象和性质iy=A sin（ wx+ψ）的}=应用

图象与性质

二、把握三角函数及相关知识的教育价值

1.有助于学生体会数学与实际生活的联系以及数学在解决实际问题中的应用。

2.有助于学生进一步深化对函数的理解和认识。

3.三角恒等变形有助于培养学生演绎推理的能力，体会演绎推理的作用，提高运算能力。

4.三角恒等变形有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体现数学的发现与创造过程。

三、明确三角函数的课标要求

根据课标的要求，教学中要注意：（1）充分利用教材中提供的日常生活实例，使学生体会到自然界存在大量遵循周期性变化的现象，同时也让学生逐渐认识到三角函数是刻画周期现象的重要模型。（2）教学中注重知识的形成和发展过程，关注知识之间的内在联系，渗透“事物之间是普遍联系的”唯物主义辩证观点。（3）三角函数的教学要重视数形结合，特别是利用图象研究三角函数的性质，利用图象解题等。（4）恒等变形是数学学习的基本功之一，教学中要适度加强这方面的训练。（5）注意挖掘三角恒等变形的思维训练价值及运算训练价值，注意“通法通则”。

四、注意三角函数的特殊地位

“三角函数”是中学数学中重要的基本初等函数之一，是描述周期现象的典型的函数模型，具有广泛的实际应用价值。教学中要注意以下几点：（1）按照研究函数的一般方法来研究。即认识它的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等。依托定义一研究图象一再认识性质。（2）体现三角函数的特殊性。一是注意体现定义的特殊性，即从角一角的孤度制一到实数集与实数集的对应关系，二是三角函数的周期性和对称性是它所具有的特性，教学中要把这两个性质凸显出来，作为教学的重点。（3）注重三角函数的实用性，三角函数的周期性在实际生活和物理学中必须有着广泛的应用，其应用价值必将是高考考查的重要方向，因此教学中必须加强函数建模的教学与引导。

五、注重三角函数中数学思想与方法的渗透

三角函数是重要的基本初等函数之一，它的定义、图象和性质有十分鲜明的特征和规律，它和代数、几何知识有着密切的联系，是研究其他知识的重要工具，在实际问题中也有广泛的应用。三角函数这部分教材中蕴藏着很多数学思想和方法。

1.集合思想：如象限角的集合，用集合表示三角函数的定义域和值域。

2.对应思想：角的概念推广以后，在弧度制下集合和实数集建立了一一对应的关系：即每一个角都有唯一的实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。

3.转化与化归思想：如利用诱导公式求任意角的三角函数值，再进一步划归为锐角。利用两角和差公式把非特殊角的三角函数数值化归为已知的三角函数值。还有将y=smx的图象经过平移变换一周期变化一振幅变化而得到y=A sin（wx+w）的图象。

4.数形绪合思想：用坐标来定义三角函数；用单位圆中的有向线段表示三角函数；用单位圆引出正弦、余弦的诱导公式；利用图象来研究三角函数的性质；通过将正弦线上各点的坐标进行平行移动、伸长或缩短来画出三角函数的简图等，这些都体现了数与形的结合。

5.整体思想：利用正弦、余弦函数的性质解题时，常常把wx+ψ看作整体来处理。

由此可见，三角函数及恒等变形中蕴含着大量的思想方法，按照《高考说明》要求，高考试题中必然涉及这些思想方法。

数学教学的重要任务之一是渗透思想方法的教学，并用思想方法引领解题教学。作为教师，我们首先要弄清楚教材中所反映的思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时做出归纳和概括，在具体的授课活动中以适当的方式（如提问、探究、反思）将数学思想方法加以揭示，并使之表层化，使学生达到真正意义上的领会和掌握，增强学生对数学思想方法的应用意识。

六、高考命题特点及对教学的启示

从安徽省及全国卷看，高考对本章要求保持平稳，避免对复杂三角变换和特殊技巧的考查，注重对三角函数图象和性质的考查，对基础知识及基本技能考查，在考查三角公式进行恒等变形的同时也直接考查三角函数的性质和图象变换。这也和教材相关内容的设计理念相吻合。

根据上述特点，教学中注意以下几点：（1）三角函数的图象和性质是本章教学的重点，这部分内容是高考解答题的主要题型，其中周期性和对称性也是三角函数自身最重要的性质。（2）理清三角函数知识之间的联系和公式之间的关系，注意三角函数化简和求值的训练。（3）重视三角函数的建模。教材把“潮汐与港口水深”这一三角专题作为参考案例，教材几处涉及三角函数在物理学科中的应用。如用函数y=A sin（ wx+ψ）来刻画物理中的简谐振动等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要模型，显然我们必须重视这种设计意图。