抓住结构特征，巧解根式问题

黄开琴 高明

二次根式一直是竞赛中的重点内容，它涵盖的知识面较广，通常与函数、方程、不等式、解析几何等知识结合，灵活性较强，其解答过程中包含丰富的数学思想。“发现问题比解决问题更重要。”启发我们在做题时应仔细观察根式的结构特征，利用其信息特征“对症下药”。

一、构造模型，转化视角

构造是数学解题的重要方法和技巧，在解一些与二次根式有关的题时，不可墨守成规，要善于抓住已知根式的结构特征，合理构造相应的数学模型，往往能减少运算量，简化解题过程，起到出奇制胜的作用。

例1：函数?（x）=√x4-3x2-6x+13-√x4-x2+1的最大值为（  ）。（1992年全国高中数学联赛）

分析与解答：两根式下都含x4，仔细观察不难发现两根式下都可以写成平方和的形式，即，此时函数可看成点p（x，x2）与点A（3，2）的距离及点B（0，1）距离差的最大值，即把一个代数问题转化成两点间的距离这样一个几何模型（如图1）。

图1

易知P点轨迹是一条抛物线，其方程为y=x2，由于A、B两点在抛物线两侧，故过这两点的直线必与抛物线相交。对于抛物线上任意一点，到 两点的距离差大于等于√10，故?（x）max=|AB|=√10，取最小值时如图1所示。

例2：方程√4-2√3sinx+√10-4√3sinx-6cosx=2的解x为          （      ）。（第12届希望杯高中数学竞赛试题）

分析与解答：该式为含根式的无理方程，涉及正余弦运算，化简异常复杂，不易直接解出方程的解，解题思路受阻，不妨转变角度，视该方程为一个整体，再构造结构类似的对偶式：

√4-2√3sinx+√10-4√3sinx-6cosx=2m，

将两式进行和差运算，得：

从而有，解得m=0，

于是，，因此。

二、巧妙代换，化繁为简

代换即是将题目整体或某一部分用另一个字母或符号来替换，通过代换，把复杂的根式去掉，使问题的条件和结论转化，达到化繁为简，化难为易的目的，代换是化简的重要方法。

例3：若不等式，则k的取值范围是（   ）          。（2009年全國高中数学联赛青海赛区初赛）

分析与解答：将不等式变形为：，并令，此题则转变只需求u的最大值。而在u中，分子、分母都含根式，不妨把u拆分，使得

，观察其结构特征和数量特征，易知，故此题可先配凑，再采用三角代换。令：

则可知，

即，故。

例4：若实数x、y满足，则x的取值范围是（   ）         。（2013年全国高中数学联赛）

分析与解答：观察其结构特征，是含根式的方程，不妨采用局部代换，令，，易知x=a2+b2，代入原方程可得：a2+b2-4a=2b，从而a、b满足方程（a-2）2+（b-1）2=5（a，b≥0），其轨迹是以 （2，1）为圆心，√5为半径的圆在a，b≥0的部分，而x=a2+b2的取值范围可看成该圆上的点到原点距离平方的范围。（如图2）可知，从而，20]。

图2

三、利用函数单调性，化简根式

对于某些含二次根式的函数的值域问题，可借助函数单调性，利用其性质去解决相应问题。

例5：函数的值域是（   ）。（2014年全国高中数学联赛）

分析与解答：易知?（x）的定义域为[5，8]，且?（x）在[5，8]上为增函数，故，。

二次根式问题具有极强的灵活性，能考察学生的观察、类比、联想、转化、创新等多种能力，技巧性较强，做题时一定要抓住根式结构特征，采用合理的方法化难为易。

（作者单位：四川西华师范大学数学与信息学院）