正六边形网格的3D相容性条件

李 会 平

(1.安徽绿海商务职业学院，安徽 合肥 230601;2.广西民族大学，广西 南宁 530006)

正六边形网格的3D相容性条件

李 会 平1，2

(1.安徽绿海商务职业学院，安徽 合肥 230601;2.广西民族大学，广西 南宁 530006)

经典复分析的离散化是一个重要的研究课题。依据有向四角形图可以定义离散柯西-黎曼方程，四角形图相容性结论已经得到，正六边形网格的相容性问题可以利用四角形的离散柯西-黎曼方程进行研究，得到正六边形网格3D相容性的充分条件。

离散柯西-黎曼方程；相容性；四角形；正六边形

R.J.Duffin得到了离散解析函数许多基本的性质[1]，后来，又建立了菱形网格的理论[2]；Alexander I. Bobenko与Yuri B. Suris研究了四角形图上的可积方程[3]，获得了非常有价值的结论，随后研究了四角形图上的可积非交换方程[4]。四角形相容性理论已建立，六边形网格的相容性有待探索。本课题利用四角形的离散柯西-黎曼方程导出正六边形网格3D相容性的充分条件。先给出几个定义。

定义1 称复平面的胞腔剖分D为四角形图，若D的所有面是四角形[5]。

定义2 用V(D),F(D)分别表示图D的顶点与面的集合，函数f:V(D)→C相对于权函数v称为离散全纯函数(离散解析函数)，若对任意有正方向的四角形(x0,y0,x1,y1)∈F(D)有

这些方程叫离散柯西-黎曼方程[5]。

定义3 任取三维正六边形图D的一个单元x1x2x3x4x5x6-x1′x2′x3′x4′x5′x6′，称正六边形网格相对于权函数v具有3D相容性[1]，若由面(x3,x4,x4′，x3′)与面(x5,x4,x4′，x5′)传递的f(x4′)的值相等。JP

定义4 称权函数v(x,y)=f(y)-f(x)为直线权函数，其中x,y为顶点。

定义5 称正六边形中关于某顶点相隔奇数个顶点的一对顶点为该顶点的相隔顶点。

下面给出主要结果并证明。

定理 正六边形网格在点x的第k个花瓣相对于权函数v具有3D相容性的充分条件为

其中，l,m,n为复数，(x,x′)为一条侧棱，函数f:V(D)→C相对于权函数v为离散全纯函数。

证明 不妨取x=x1，k=1,此时三维正六边形图D的一个单元记为x1x2x3x4x5x6-x1′x2′x3′x4′x5′x6′，初始值f(xi)(i=1,2,3,4,5,6)及f(x1′)已知，由侧面(x1,x2,x2′，x1′)即得

即f(x2′)=f(x1)-iv(x2,x1′)[f(x1′)-f(x2)]。

由侧面(x2,x3,x3′，x2′)得

即

f(x3′)=f(x2)-iv(x3,x2′)[f(x2′)-f(x3)] =

f(x2)-iv(x3,x2′){[f(x1)-f(x3)-

iv(x2,x1′)[f(x1′)-f(x2)]}由侧面(x3,x4,x4′，x3′)即得

即

f(x4′)=f(x3)-iv(x4,x3′)[f(x3′)-f(x4)]=

f(x3)-iv(x4,x3′)×{f(x2)-f(x4)-

iv(x3,x2′)[f(x1)-f(x3)]-

v(x2,x1′)v(x3,x2′)[f(x1′)-f(x2)]}

(1)

另一方面，由下标2换6，3换5，1和4不变，

f(x4′)=f(x5)-iv(x4,x5′)×{f(x6)-f(x4)-

iv(x5,x6′)[f(x1)-f(x5)]-v(x6,x1′)v(x5,x6′)[f(x1′)-f(x6)]}=f(x5)-iv(x2,x1′)×{f(x6)-f(x4)-iv(x3,x2′)[f(x1)-f(x5)]-

v(x4,x3′)v(x3,x2′)[f(x1′)-f(x6)]}

(2)

当f(x2)=f(x6)且f(x3)=f(x5)，v(x2,x1′)=v(x6,x1′)时，v(x4,x3′)=v(x2,x1′)，故得(1) 式和(2) 式相等。

推论 正六边形网格在点x的第k个花瓣相对于直线权函数v具有3D相容性的充分条件是f(xm)=f(xn),xm与xn为点x的相隔顶点。

证明 由v为直线权函数，并且f(xm)=f(xn),xm与xn为点x的相隔顶点，即得推论成立。

[1] R.J.Duffin. Basic properties of discrete analytic functions[J] .J. Duke Math.，1956(23):335-363.

[2] R.J.Duffin.Potential theory on a rhombic lattic[J]. J. Combinatorial Theory, 1968(5):258-272.

[3] A.I. Bobenko, Y. B. Suris. Integrable equations on quad-graphs[J]. J. Internat. Math.，Res.Notices, 2002(11):573-611.

[4] A.I.Bobenko,Y. B.Suris. Integrable non-commutative equations on quad-graphs. The consistency approach[J]. Lett. Math. Phys.，2002(61):241-254.

[5]A.I. Bobenko,C. Mercat,Y. B. Suris. Linear and non-linear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green′s function[J].J. reine und angew. Math.，2005(583): 117-161.

3D Consistency Condition of Regular Hexagon Lattice

LI Hui-ping1,2

(1.Anhui Lvhai Vocational College of Business, Hefei 230601,China; 2.Guangxi University for Nationalities,Nanning 530006,China)

It is an important topic to study in the discretization of the classical complex analysis. According to the directed quadrilateral graph，discrete Cauchy-Riemann equations can be defined, the consistency conclusion of quadrilateral graph has been obtained. In this paper, the consistency of regular hexagon lattice is defined firstly, then 3D consistency sufficient condition of regular hexagon lattice is obtained by applying discrete Cauchy-Riemann equations of quadrilateral.

discrete Cauchy-Riemann equations, consistency, quadrilateral, regular hexagon

2015-06-09

李会平，男，安徽望江人，硕士，安徽绿海商务职业学院讲师，主要研究方向为复分析、数学基础课的教学研究等。

时间：2016-1-5 13:01 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.004.html

O174.5

A

1007-4260(2015)04-0015-01

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.004