小议数学学习中的迁移

云南省昆明市明德民族中学 蒋雁林

学习的目的在于把已经学得的知识技能等应用于新的学习，应用于实践，进而解决问题。而知识技能的应用问题，从心理学的角度来看，实质上就是学习的迁移问题。

一、迁移的概念

一种学习对另一种学习的影响，在心理学上称之为学习的迁移。

学习能够迁移，这是学习中的普遍现象。例如，在数学学习中，学生学习了数的有关知识，有助于他学习式的有关知识；学习了方程的有关知识，有利于他学习不等式的知识。

二、影响学习迁移的因素

（一）两种学习材料之间的共同因素

学习材料之间包含的共同因素越多，迁移越容易发生。

例如，学生在学习了解一元一次方程以后，再学习解一元一次不等式，这两种学习之间有许多共同因素。特别是解一元一次不等式的前几个步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项等，与解一元一次方程的刺激与反应均相似，因而容易产生学习的正迁移；而在学习解一元一次不等式的最后几个步骤，不等式的两边同除以未知数的系数时，由于与解一元一次方程的刺激类似，但反应不完全相同，因而容易产生学习的负迁移。

（二）认知结构的特征

学生的认知结构的特征是影响学习迁移的最关键因素。

奥苏贝尔系统地研究了认知结构对学习迁移的影响，提出了三个影响学习和保持的认知结构变量。一是认知结构的可利用性。二是认知结构的可辨性。三是认知结构的稳定性和清晰性。

（三）知识的概括水平和学生的数学概括能力

迁移的实质是什么？心理学认为，“迁移就是概括”。意思是说，任何学习的迁移都是通过概括这一思维过程才实现的。产生迁移的关键是学习者能否在两种学习材料之间概括出它们的共同因素，概括才是迁移的基础。学生的概括能力越强，就越能揭示出尚未认识的某些同类材料的实质，从而产生正迁移。数学概括能力强的学生，很容易概括出问题的结构，把解决一个问题的思想和方法迁移到解决类似的问题中去。

三、迁移规律在数学学习中的应用

（一）加强新旧知识的联系，实现正迁移

例如，用代入消元法解二元一次方程组的基本方法，如果仅仅教给学生如何代入，如何消元的解题模式，学生一般也能学会，但往往只能机械地套用法则，对代入消元所蕴含的思想得不到训练。对于为什么能想到代入、为什么能够代入等感到十分茫然。我们可以按照如下方法来组织教学活动。

作为国人耳熟能详的寓言故事，“亡羊补牢”意为失羊修圈尚不算晚，喻行事出错也可补救。若将“牢”喻作人才成长环境，人才则为“羊”。于“羊”，“亡羊而补牢，未为迟也”；于人，则“亡牢而补羊，于事无补”。

要解二元一次方程组：

可以将这个方程组所反映的数量关系变换成如下的实际问题：“设甲、乙两数的和为20，甲数为乙数的3倍。求甲、乙两数。”这是学生利用旧知识——列一元一次方程完全能够解决的问题。

解：设乙数为x，则甲数为3x，由题意得

解得乙数为x=5，甲数为3x=15。

这时让学生思考：如果设乙数为x，甲数为y，则x和y之间有什么关系呢？学生容易得到：这个方程组如何解呢？将它与一元一次方程①进行比较，很快可以发现，把②代入③，消去y就变成①。由此，学生自然产生了用代入消元法解二元一次方程组的基本思想，比较顺利地实现了从一元一次方程到二元一次方程组的学习迁移。

（二）揭示知识之间的异同，促进正迁移，防止负迁移

例如，初中生学习绝对值和算术根时，有三组式子：

在(1)和(2)中,刺激改变了,但反应相同,这时应揭示两者的共同的本质特征： ∣a∣和√a2均表示非负数,并且√a2=∣a∣;而在(2)和(3)中,刺激相似, √a2和(√a)2在形式上有相似之处,但实质不一样,这时应注意揭示两者的区别： √a2是a2的算术平方根,a可为任意实数. (√a)2是a的算术平方根的平方,a只能取非负数。如果不揭示这一区别，就会得出√a2=a,从而产生负迁移。

（三）提高数学知识的概括水平，增进迁移效果

在数学学习中，如果教师能够帮助学生及时地对所学知识进行概括，必将大大提高学生应用知识解决问题的能力。

（1）m为何值时，方程有两个相同的实数根？

（2）设x1和x2是方程的两实根，

当m为何值时，

有最大值和最小值？并求出这个最大值或最小值。

在解决这个问题的过程中，可以有两种不同的抽象概括水平。

水平一：把（1）看作是一元二次方程判别式的应用，把（2）看作是韦达定理的应用。

水平二：把（1）看作是关于m的方程，为了寻求新的等量关系，才用到一元二次方程的判别式；把（2）看成是函数的最值问题，为了求函数的最值，必须把它表示成单变量的函数关系式，这里有两个变量x1和x2，为了表示成单变量，必须考察x1,x2与m之间的关系，这就用到了韦达定理。

水平一仍然停留在感性概括阶段，停留在简单的应用阶段，就题解题，没有揭露（1）和（2）的实质。水平二则已提高到抽象概括的水平，这时学生就能将这两个具体问题的解决，纳入到中学阶段最重要的知识体系之中：方程和函数，可以使学生树立起方程和函数的观点。这些观点，来源与一般的数学知识，但又高于一般的数学知识，它更具有概括性和包摄性。如果这些观点能在学生的认知结构中被固定下来，无疑可以达到从一种学习情境到多种学习情境的迁移。

（四）科学地组织练习，发展和强化正迁移

科学的训练方法应该做到，在学习新知识的初期，要通过练习形成思维定势。但这种思维定势形成以后，又要通过训练，打破原有的思维定势，不失时机地建立、发展和强化更有一般意义的思维定势，实现学习的正迁移。

为迁移而教，在教育实践中优化学生的认知结构具有十分重要的意义。