高考导数题的解题方法

安徽省来安县来安中学 李远凯

利用导数研究复杂函数的单调性、极值、最值、参数范围、恒成立（证明）等问题。是解决函数问题的一种重要手段，是衔接初等数学和高等数学的纽带，是高考题中的重点、难点。下面介绍常见的几种导数的解题方法。

一、利用分离变量法解导数中参数范围问题

分离变量法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知。

例1：已知函数

存在单调增区间，求a的范围？

即存在正数解。

记当.

二、利用“特殊值”解导数中复杂问题

“特殊值”在解题中可以缩小参数的范围，有利于参数讨论更加简捷。“特殊值”还可以很快找到函数的关键点，有利于找到更有效的解题方向，达到事半功倍的效果。

k为常数。曲线y=f(x)在点（1 ， f (1)）处的切线与x轴平行。

（1）求k的值；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）设证明：对任意x＞0都有.。

解（1）由题意得：

∵f′(1)=0,∴k =1.

∴f (x)在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减。

令,令,得。

即对于任意x ＞ 0都有.

注：在第（2）问中，利用特殊值求函数的单调区间就很简捷了。

三、利用“构造函数”解有关导数题

导数中有很多创新题、复杂题、不等式证明等题型，可以通过构造合适的函数就可以迎刃而解。

1.对导函数进行研究构造二次导数

(1)讨论函数 f (x)的单调性；

（2）若在（1，+∞）上恒成立，

令

在（0，+∞）上单调递增。

当,即时，

令

所以 f (x )在（0,x1）,(x2,+∞)上单调递增；

在（ x1,x2）上单调递减。

（2）转化为：在（1，+∞）上恒成立.

令，

F′(x)在（1，+∞）上单调递增，则

则F(x)在（1，+∞）上单调递增，则.得a≤1,又a＞0,所以a∈(0,1].

2.构造适当的函数证明不等式

例4：已知函数,

（1）若不等式在x∈[0,+∞)时恒成立，求实数a的取值范围。

（2）当a=1时，证明：

∴当a ≥ 1时，φ(x)在x≥0上单调递增的，成立；

当a ∈ ( 0,1)时，φ(x)在上单调递减的，使得,不符合题意。

∴a≥1.

分析：本题（1）中利用到特殊值减少了解题步骤；（2）中利用函数单调性加以证明不等式，简明方便。

导数作为解决数学问题的一种工具，它为高中数学注入了新的活力。对于一些常见方法的掌握能更加准确快捷的解决导数中的复杂问题。关于难繁的导数大题，解题的方法可以用这样的顺口溜去记忆：关注函数定义域，求导公式要牢记。求参范围用分离，若遇繁难找亲戚（特殊值）。构造函数再分析，如若困难返回去。分类讨论顶上去，细心认真放第一。无能为力把家分（分拆多个简单函数），化繁为简解难题。