读懂教材的三点尝试

张秋爽 中学高级教师，北京市学科带头人，吴正宪小学数学教师工作站首批进站成员。多年来，潜心研究小学数学教学，以“理解”为核心，形成“抓住联系，体现过程，分层设计和凸显思考”的教学特色。

创新教研方式，形成教师研修的六大策略，主编了《团队研修的实践与探索》《听吴正宪老师上课》《和吴正宪老师一起读新课标》等书，并有80篇论文、教学设计在省级以上刊物发表。“十一五”期间承担了北京市教育学会立项课题研究获终期成果二等奖，参与的课题荣获第四届全国教育科学研究优秀成果二等奖、北京市第四届基础教育教学成果一等奖。

《数学课程标准》（2011年版）指出：“数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。”如何用好这一重要的教学资源，读懂数学教材、成为编者的真正知音无疑是提高课堂教学有效性的关键。如何读懂教材？我的体会是：从粗到细、从薄到厚。即采用“通读法—略读法—精读法—品读法”读懂教材，“通读全套教材—略读年段教材—精读本册教材—品读本课教材”。下面谈一谈我在读懂教材方面的三点尝试。

一、读懂一个知识点的编排体系

小学数学教材的编排特点之一是分散难点、循序渐进和螺旋上升。以《乘法分配律》为例，它沟通了加法和乘法两种运算间的联系，改变了运算的先后顺序。《乘法分配律》是乘法对加法的分配，实际上还有许多变式；计算过程中还渗透了分与合、等量代换的思想，其本质就是乘法的意义。我通过两个维度对《乘法分配律》内容的学习进行了梳理。

1.从学习阶段来看，“乘法分配律”的学习分为三个阶段：孕伏阶段、明确阶段和应用阶段

⑴孕伏阶段。在乘、除法的计算中，孕伏着大量的“乘法分配律”内容的学习。如“7的乘法口诀”，为了让学生了解“七七四十九”这句口诀的来源，在动手操作的基础上，可以用相邻口诀之间的关系推导出新口诀，即6个7加1个7，和是49，所以七七四十九；还可以用相关口诀之间的关系推导新口诀，即2个7加5个7（7×2+7×5=7×7）。两种方法都利用了分与合的思想，既分散了难点，又让学生的数学思考落到了实处。

⑵明确阶段。明确阶段就是《乘法分配律》的学习，可以利用学生的生活经验：成套的桌椅、成套的服装、师徒一起做零件、大小车一起运货物等实际问题抽象出乘法分配律的模型；也可以利用已有的知识基础，对旧知进行再现从而举一反三地抽象出运算定律，也从最初的关注结果的相等到关注相等关系，进而关注算式结构。《乘法分配律》的学习最关键的是以乘法意义为突破口。

⑶应用阶段。应用阶段包括“行程问题”“小数乘、除法计算”“四则混合运算”“长方体表面积”“工程问题”“圆环面积”“解方程”“分数、百分数应用问题”等，到了初中还有多项式的合并、因式分解等。

2.从数学学习领域来看，涉及“数的运算”“图形与测量”“解决问题”和“其他”四个方面

通过研究，我们认为只有在整体把握教材的基础上，抓住乘法分配律的核心才能够帮助教师体会到数学知识间的内在联系，做到前有孕伏、后有照应，突出重点，突破难点，为学生的可持续发展奠定基础。

二、读懂领域内各个内容之间的联系

图形与几何领域包括图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置。这四部分之间有联系吗？图形的认识是从边、角的数量及其关系、运动的角度刻画的；测量是从数据的可量化再次认识图形；描述位置也离不开测量中的具体数据；测量还为沟通代数、几何及相关领域搭建了桥梁。图形运动是一种思想，打开了学生对图形认识的新视野……这四部分内容之间的联系体现了一维空间和二维空间之间的转化、二维和三维空间之间的转化。

1.读懂各部分知识本身的内容、目标和策略

（1）图形认识的要求及阶段性目标

图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识，二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。第一学段的“了解直角、锐角和钝角”；第二学段的“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”“了解三角形两边之和大于第三边”；第三学段的“会比较线段的长短”等，都是对图形大小关系的研究。

（2）测量教学的策略

测量不仅仅是计算，计算只是其中的一部分，用数据刻画图形的大小，进一步理解图形的特征、估测等内容应提到议事日程。这部分内容的教学要体会建立统一度量单位的重要性：理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟；在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量；重视估测及其简单应用；帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解、掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，发展空间观念。

（3）图形与运动的方式

在小学阶段，图形的运动主要是图形的平移、旋转和轴对称。平移有方向、有距离，平移过程中最重要的是找对应；旋转需要有固定点和角度；对称包括轴对称、中心对称、点对称等。“图形运动”强调了研究图形性质的一种有效方法。

（4）图形与位置内容梳理

第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。这两方面内容是有区别的，但是它们并非截然分开，而是有联系的，无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向。

2.读懂各部分知识之间的内在联系

（1）从运动角度认识图形

在认识图形的教学中，可以借助运动，直观地刻画图形的属性。例如，长方形、正方形、圆、长方体、正方体、圆锥等图形，在认识它们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，发现图形的特征。

（2）从运动角度理解度量

小学阶段，在面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到运动的价值。教学“三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导”时，会用到拼凑、割补等多种推导方法，这些方法都利用了图形的运动。

一条射线沿着端点旋转后就能成为大小不一的角；圆是从定点到定长的点的运动轨迹；一个长方形沿着长或宽旋转360°后就会成为一个圆柱；一个长方形平放（与地面平行）后平移一定的距离就会形成长方体；沿着直角三角形的直角边旋转360°就会得到一个圆锥……这就是面动成体。

3.图形认识与图形运动、测量、图形与位置之间的联系

“长方形的认识”的教学是从生活中的桌子面、屏幕面、数学书封面抽象出长方形的特征——对边相等，四个角都是直角，再回到生活中应用。除此之外，还可以从哪些角度认识长方形呢？一是从运动和测量的角度认识图形：一条长5厘米的线段水平放置，向下（上）平移3格（3厘米）后成为一个长方形，这就是线动成面，其中与测量也建立了联系；二是可以从一个直角入手，在角的两条边上截取固定的长度后，让两条边平移需要的距离也能形成一个长方形；三还可以从线之间的位置关系来刻画：“对边平行且相等”是平行四边形的特征；再加上“邻边垂直”就是长方形的特征，用这种方式刻画，能让学生体会到长方形是特殊的平行四边形。

利用联系的观点读懂教材，既可以让学生学好每一部分的知识，也能让学生感悟数学知识间的内在联系，体会到条条大路通罗马的感觉。

三、读懂核心概念背后蕴含的数学思想

数学教材的编排除了知识这一条明线外，还有一条思想方法的暗线。在图形与几何领域，空间观念、几何直观和推理能力是核心概念。在测量这部分内容的学习中，什么是重要的？测量就是会计算周长、面积、体积吗？难道几何就是计算？不，几何更重要的是对图形的刻画，那么，在计算的背后蕴含着哪些思想方法呢？

如：这有一块长方形地毯，长是6米，宽是4米，它的周长是多少米？它的面积是多少平方米？

封闭图形一周的长度是周长。周长就是从起点再回到起点，如何计算周长？就是顺边加。长度就是长度单位个数的累加。面积是用面积单位去密铺，这块地毯一行铺6个1平方米的正方形，铺了4行，一共是24个1平方米，也就是24平方米。所以可以用长×宽来计算长方形的面积，面积就是面积单位个数的累加。

平面图形面积的计算，一般情况下利用转化思想，“转化”的本质是“所求面积转化为‘小单位’面积的和”，“转化”体现了等积变形，也可以说蕴含了等量代换的思想；其实，把一个平面图形按照小单位进行分割，然后求和，对于曲边图形（圆），采用化曲为直，利用无限逼近，渗透极限思想，为学生学习积分做好了准备。

至于体积的计算，本质是体积单位个数的累加。不论是计算长度、面积还是体积，背后都渗透了度量的思想。度量的核心要素包括度量对象、单位、单位的个数，度量的本质是“比”，度量的性质有运动不变性、叠合性、有限可加性、无限不可公度性。

在度量过程中，“单位化”思想非常重要。数与代数领域中认数、数的计算都离不开单位：数的认识的关键就是数位和计数单位，数是由计数单位和个数累加得到的；小学阶段学习的“数的加减法计算”都是在对计数单位的个数进行相加减，除法就是在平均分计数单位的个数，乘法就是创造单位。估算、估计也离不开单位，在制作统计图时也需要考虑一个单位代表的数量。总之，单位化思想在小学数学学习中有着举足轻重的作用。

作为教师，读懂教材是一项基本功，只有在教师了解了知识编排体系，理解各部分内容之间的关系，把握概念背后的思想方法后，才能大胆地对教材内容进行选择、重组、改造或补充，灵活能动地运用教材，设计有价值的活动，让学生在掌握知识的同时，习得方法，感悟思想。