数学解题，“三审”题目

李菁菁　高明

摘要：高中数学竞赛和高考试题内容具有广泛性与深刻性的特点，其解答也包含着丰富的机智思想，制定“三审”题目的策略有助于扩展知识、拓展视野、延展思维、深化解题方法、提高解题技巧，以及培养创新思维能力。

关键词：审条件；审结论；审方法

中图分类号：G634.6文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）06-0037-01

波利亚在《怎样解题》中提到解题的第一个环节是“弄清问题”，它是对问题表征进行认识的过程，通过审条件、审结论、审方法三方面去理解题意，抓住关键信息，明确命题的意图，进而找到解题的突破口，“三审”是成功解决问题的前提。

一、审条件

条件是解题的基础和依据。审条件就是要充分利用题目中的已知条件，将条件进行分解、转化、组合，挖掘隐含信息，找到它们之间的内在联系，同时要抓住关键特征，明确命题的意图，寻找解题的突破口。

例1、若实数x，y满足方程组（x-1）2011+（x-1）2009+2010x=4020（y-1）2011+（y-1）2009+2010y=0，则

x+y=.（2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛）

分析与解答：条件是关于变量x，y的高次方程，单独解出x，y非常困难。抓住题目中的隐含条件，即方程的结构特征和数量特征，将其变形为：

（x-1）2011+（x-1）2009+2010（x-1）=2010（y-1）2011+（y-1）2009+2010（y-1）=-2010，

观察可发现这两个方程有较明显的特征，两式的左边结构相同，右边的两个数互为相反数。此时可构造函数f（t）=t2011+t2009+2010t，再利用相关性质：

（1）函数f（t）为奇函数，有f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y）；

（2）函数f（t）为R的单调递增函数，则由f（x-1）=f（1-y）可得x-1=1-y。

故x+y=2。

二、审结论

结论的证明或解答是解题的目的、落脚点。审结论就是在解题前要知道题目求的是什么，明确解题方向。而对于某些选择题，往往可以从结论入手，将结论分成互斥的类型，从而寻找到解决问题的思路。

例2、设函数f（x）=ex+x-a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）.（2013四川高考数学，理10）

A.1，eB.e-1-1，1C.1，e+1D.e-1-1，e+1

分析与解答：从结论入手，可发现A、C选项不含0元素，B、D选项含有0元素，则将选项分为两类：A、C与B、D。

（1）当a=0时，f（x）=ex+x，为增函数。则f（0）=1，有f（f（0））=e+1>1，不满足要求，排除B、D。而对于A、C选项，只要考虑a=e+1是否满足要求即可。

（2）当a=e+1时，f（x）=ex+x-e-1，有f（0）=1，而f（f（1））=-e无意义，排除C，故答案选A。

三、审方法

方法就是解题的手段、技巧，是解题的重要工具。审方法就是挖掘题目中的条件，可以利用数学公式、定理等来得到解决问题的思路。多角度、全方面地思考如何利用这些条件来解决问题，有助于提高人的思维能力。

例5、函数f（x）=3x-6+3-x的值域是.（2013年全国高中数学联合竞赛江西赛区预赛）

分析与解答：

方法1（函数的性质）函数的定义域为2，3，由连续函数在闭区间内必有最值，且通常在端点处或极值点处取得，而f（2）=1，f（3）=3，f′（114）=0，f（114）=2，因此f（x）的值域为1，2。

方法2（数形结合法）由于涉及根式运算，较复杂，可考虑使用换元法。令3x-6=a，3-x=b，原函数变为y=a+b，又有a2+3b2=3，即a23+b2=1（a≥0，b≥0）。现考虑直线b=-a+y与椭圆a23+b2=1（a≥0，b≥0）的位置关系。（如图2），利用数形结合思想可知：直线与椭圆第一象限有交点，故y最小在点（0，1）处取，此时y=1，y最大满足a23+b2=1b=-a+y，由其判别式为0，可解得y=2处取得，所以y∈1，2，即f（x）的值域为1，2。

方法3（三角代换法）由于变数3x-6与3（3-x）之和为定值，联想到三角函数的性质。因为0≤3-x≤1，令3-x=cos2α，α∈0，π2，则3x-6=3sin2α。

原函数变为f（α）=3sinα+cosα=2sin（α+π3），又π3≤α+π3≤5π6

则f（α）∈1，2。

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）