PCK视角下的数学说课——由“勾股定理”说课谈起

王传利

（肇庆学院数学与统计学院，广东肇庆526061）

数学教育

PCK视角下的数学说课
——由“勾股定理”说课谈起

王传利

（肇庆学院数学与统计学院，广东肇庆526061）

PCK和说课二者之间有着天然的契合性，PCK能从理论上指导说课这一实践活动，说课能促进教师PCK的生成。由一则典型课例出发，阐述了PCK视角下的说课和普通意义下说课的区别，并对如何在PCK视角下进行说课进行了具体阐述：说课应抓住各教学点各个突破，着力于点，点面结合；形成说课圈，集体研课。PCK视角下的说课实际上是一种研究性说课，加强教师的阅读能力乃是提高说课质量的有效途径。

PCK；说课；勾股定理；教学点；说课圈

勾股定理蕴含着丰富的数学史和数学思想方法，故一直受到一线教师和教育教学专家的青睐，并将长时间成为教学改革研究的热点。笔者于2012年5月指导2009级职前教师参加学校举行的首届师范生说课大赛“勾股定理”说课获得一等奖，同年9月份带领职前教师参加了广州市H区Y中学L教师执教的《勾股定理》的磨课，接下来是Y中学数学教研组（以下提到Y中学数学教研组也不加区分地称为Y中学）关于勾股定理的说课，这使笔者和职前教师受到了很大的触动。同样都是说课，为什么反差那么大呢？显然，Y中学进行的说课已和普通意义下的说课不同（见表1），这个不同在什么地方呢？回来后一方面继续进行职前教师的教学技能训练；另一方面，继续参加Y中学的教研活动，边实践边反思，随后的第二届、第三届职前教师说课比赛数学学院继续保持第一名的好成绩，笔者对说课的认识由原来的模糊也渐渐变得明朗起来。

表1 职前教师和Y中学“勾股定理”说课案例简介

职前教师和Y中学说课内容都选自人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册18．1勾股定理，经过分析发现，二者的说课活动还是有诸多不同。首先，说课的流程和内容不同。职前教师的说课是普通意义下的说课，属于基本操作，遵循时下盛行的说课模式，具有规定的套路。Y中学的说课打破传统的说课模式，更加注重说课的本质和质量，主要从课程标准、教师、学生三个方面阐述学生学什么、怎么学，教师教什么、怎么教，针对每一个教学点基于学生的学说课。其次，说课的形式不同。普通意义下的说课是说者说课、听者评说单向活动，时间上受到限制，大约10～15min；而Y中学的说课时间上没有严格限制，是教研组集体说课，形式上比较灵活，可以由一位教师说课，其他教师进行提问，也可以是说课者边说边向其他教师提问，大家就某一特定问题积极展开讨论。再次，说课的效果不同。前者，教师说课可以获得比赛的名次，是为说课而说课，仅仅获得学科内容知识，教师专业发展流于形式；后者，教研组全体教师通过说课—磨课—说课，不仅习得学科内容知识，还获得学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK），真正发挥了说课的作用。

可以看出，职前教师的说课是普通意义下的说课，即说课是让教师以语言为主要表述工具，在备课的基础上，面对同行、专家，系统而概括地解说自己对具体课程的理解，阐述自己的教学观点，表述自己具体执教某课题的教学设想、方法、策略以及组织教学的理论依据等，然后由大家进行评说。［1］而Y中学的说课明显是一种带有“研究性”的说课，即将说课理解为教师通过“说”的方式，对教学问题和教学环节等进行研究，并在与同行交流的前提下达到提升教学水平的过程［2］，是PCK视角下的说课。仔细分析两种说课的形式、流程、内容、效果，不难发现，造成二者效果显著差异的重要原因在于两个方面：一是说课的目的不同；二是两者建构说课的方式有差异。

一、为何说课

发起于中国河南新乡的本土化活动——说课，最初目的就是想通过说课这一教研活动，帮助教师搞清楚优秀教师处理某一特定教学内容的思维方式与策略依据，希望专家型教师带动一般教师的专业发展。但是说课发展到现在，流行的方式就是说课比赛，希望在短短的15min内说者阐明自己的设计理念和意图，听者听清并学会内化为自己的PCK，则是一件十分困难的事情。普通意义下的说课流于形式，为说课而说课，失去了说课应起的作用，变成了花拳绣腿，使广大教师参与说课的热情丧失，大部分学校的说课活动流产就不是一件奇怪的事情了。设想一下，没有强有力的PCK做支撑的教师说课，我们能期望职前教师和广大一线教师从这种说课中得到什么结果呢？教师作为教育者，首先要考虑的问题可能就是：怎样能够帮助教师带着掌握PCK的目的说课。［3］

PCK是有别于学科知识、一般教学知识的一种认知体系，它的核心内容是就特定内容向特定学生有效呈现和阐释的知识；从其构成来看，至少包括特定的学科性质、课程安排、学生前概念和错误概念的知识等。［4］PCK为教师专业发展提供了新的视角，教师专业化的核心问题就是发展他们的PCK。［5］因此，要想调动一线教师说课的积极性，使说课发挥应有的作用，就应厘清说课的目的，说课应真正起到帮助所有教师的PCK得到不同程度的提高，有利于教师的专业发展，把说课纳入PCK的视野，借助PCK说课就是一件十分有意义的事情。PCK下的说课能促进教师的专业发展，可以促进教师对教材的研究、丰富教师的学科知识；促进教师对学生的研究、提高教师的职业技能；促进教师对理论知识的学习、加速教师的角色转化；促进教师的自我反思、实现教师的自我完善；促进教师之间的相互协作，使教师群体共同发展、共同提高。［6］这是普通意义下的说课不可能做到的。

二、如何建构说课

PCK的定位在于“学科知识”与“一般教育知识”的融合，而其核心内涵在于将学科知识转化为学生可学的形式［7］，其核心要素就是从学生立场出发实现知识转化。［8］基于PCK，说课就是说者基于学生立场向听者阐述如何把学科知识转化为学生可学的形式，是对自己关于特定教学内容的学科知识、教学知识、关于学习的知识如何融化成PCK的一种解释，是对自己教学信念、理念的进一步深化明确，以达到说者自清、听者自明、相互交流的研究范式。基于PCK，说者主要说清楚四点：学科某一特定教学内容在学科结构中的位置；学生在学习这一主题之前的理解和学习该主题的困难；有效重组学生对该主题的理解以减少其形成错误理解的教学策略；采取有效方法（例如模拟、说明、解释、举例和示范）呈现该主题。［9］现以《勾股定理》一节为例，谈谈教师如何在PCK视角下进行说课。

1．集体研课，每位教师都真正参与说课

PCK下的说课不再局限于普通意义下说课的固定流程，教师说课时既说教师教什么、怎么教，又说学生学什么、怎么学；既说对勾股定理一节课的认识，又说从何种渠道获得有关教与学的信息；既有教师说课，又有教师问答。说者可以回答听者提出的问题，也可以向听者进行提问。说者既可以向听者解释自己对某个问题的看法、思路，也可以提出自己的疑问，寻求听者的帮助，抑或抛出某个问题，大家集体讨论。此时的说课强调每位教师参与的积极性和自愿性，突出集体研课的重要性。

通常，每次说课都由教研组长定下本次说课的主题，大家围绕该主题积极研讨，可以就某个问题在纸上写出要点，积极查阅相关资料，包括阅读教学论等书籍；说课时，互相提问、追问，发表自己的看法，勇于暴露自己的不足，学习他人的“想”法，真正做到了交流学习的目的。此时的说课每位教师既是说者又是听者，既提出问题又回答问题，把不懂的问题当场提出来，大家一起协商、相互学习、互取所需。由于是真正地帮助每位教师解决自己教学实践中遇到的困惑，每位教师全部是自愿参加、积极研讨的。这样，每位教师获得初步的PCK。带着这样的PCK进行同课异构或者磨课，把存在的问题及时反馈给教研组，进行研讨，修正教学方案，再次进行磨课，这样，教师的PCK已经成熟。

例如，L教师说A：围绕数学史和数学思想方法制定基于学生学习的教学目标，G教师问如何获取勾股定理的数学史和数学思想方法？L教师回答并获得G教师的认可后，抛出问题B：如何确定勾股定理的上下位知识？P教师进行了回答，H教师问P教师是如何确定这些上下位知识的？P教师耐心回答了H教师的提问，L教师进行了补充，H教师恍然大悟。经过这样的说课，教师习得了勾股定理上下位知识的获取途径，解决了自己的教学困惑（见图1）。

图1 Y中学集体研课示例

普通意义下的说课是一种“个人秀”，大多数情况下只是说者单打独斗，限于时间，说者匆匆忙忙，听者只听得一点皮毛，即使是评委，也仅仅通过说课稿和说者的表演进行打分，较少关注教师真正需要的PCK，造成说者不清、听者不明的局面，失去了说课应起的作用。

2．抓住各教学点进行说课

PCK下的说课主要抓住教师感到困惑的教学点进行说课。勾股定理的教学点（如图2）有很多个，这个点可以是教师教什么（学生学什么）、教学目标、学生学习勾股定理的前概念以及可能学习时的试误、教学策略和表征（如何板书、挂图、利用几何画板）、问题情境的引入和问题串的设计，也可以是数学史和数学思想方法的挖掘和使用，既有学生学的困惑，也有教师教的困惑。我们可以把上述教学点分别用A，B，C，D，E，F，……来表示，在每个教学点下又有多个子教学点，子教学点下又有多个子教学点，我们可以用A1，A2，A11，A12，……来表示。例如，关于数学史这个教学点，有数学史的收集、数学史的利用两个子教学点，在数学史的利用这个子教学点下又包含问题情境的引入、勾股定理发现后的说明、勾股定理的证明等几个子教学点，在勾股定理发现这个子教学点下又有如何引导学生发现三边之间的数量关系，如何引导学生从众多的数量关系中得出普遍规律“a2＋b2＝c2”等几个子教学点。每一个子教学点的提出都说明Y中学仔细研讨教学的每一个细节，反映了每一位教师的积极思考和教学反思。

图2 勾股定理的教学点

针对每一个教学点，每位教师发表不同的意见，说出自己的教学设计意图和效果反馈，可以由专家型教师提出来大家一起讨论，也可以由新手教师说出自己的理解、提出自己的教学困惑，由专家型教师帮助梳理。在这种说课模式下，专家和新手站在同一个交流平台，相互学习、沟通、交流，专家型教师的教学智慧等隐性知识外显，如何思考教学勾股定理的每一个点的内心思维得以在全体教师面前真实地再现，新手教师的教学困惑逐步得到解决。

说课活动应看做是一个整体系统，教师“说课”应从设计、展现、论理、效应四个层序运作说清楚自己的教学设计及其理论依据。［10］因此，每个教学点一一解决后，再来说面。这个面就是要把前面的每一个教学点串起来，综合考虑教学某一特定教学内容的策略以及如何进行教学表征（采取何种教学手段），同时还要考虑教学时间的分配，毕竟一节课只有45min。Y中学针对每位教师提出的教学点的设计，集体研讨后形成几个预案，通过实际教学检验原预案，最后定出合理的教案。这里有一个前提，那就是要考虑每个班学生的实际情况，不能一刀切，Y中学在这方面处理得很好。

显然，普通意义下的说课在有限的15min内是不可能对每一个教学点细细展开的，仅能说到面这个层次，而能够真正解决教师备课、上课出现的教学困惑的恰恰是每一个教学点，这正是PCK下的说课能够做到的。有学者指出，从心理学的视角来看，说课实际上借助外部语言，把教师自己对课程理解的“课”表述出来，教师对课程的理解有十分复杂的心理，说课心理过程以理解为前提、以语言为中介，需要历经两次转换：首先在“教师视域”与“课程视域”融合的基础上生成“课程理解”，然后将教师的“课程理解”外化为教师的“课程话语”。［11］教师对每一个教学点的思考都有着复杂的心理过程，新手教师和一般教师渴望“窥视”优秀教师的内心思维，PCK下的说课对每一个教学点的说课实际上展现了每一位教师的内心思维，每位教师在说课的过程中都经历了隐性知识（说者的）→隐性知识（听者的）、隐性知识（说者的）→显性知识（说者的）、显性知识（说者的）→显性知识（听者的）、显性知识（说者的）→隐性知识（听者的）的知识转化［9］，PCK已然生成。

3．形成说课圈，邀请知识渊博的他人指导说课

说课重在对每一个教学点制定依据和教学策略的设计意图，需要教师加强理论方面的学习，课程论、教学论、方法论专著和有关的教学研究论文需要教师阅读才能内化为自己的理论知识，这就需要知识渊博的他人给予一定的指导，这样的他人有渊博的关于教学内容的知识、教学的知识以及学生学习理解过程的知识，同时，还有大量说课实践工作经验。他们的参与将会有效避免普通意义下说课活动中的“花架子”现象。［3］笔者和教育教学专家就是这样的他人。勾股定理中蕴含的数学史十分丰富，如何在教学中渗透数学史着实困扰着Y中学数学教研组全体教师。笔者在参与他们的研讨中，向他们建议读一读汪晓勤老师的相关论文，了解一下HPM教学法、历史相似性原理和发生教学法，并向他们讲解张奠宙先生编著的《数学教育概论》（第二版）数学史与数学教育一节，使他们认识到数学史融入数学教学的必要性和选择性。［12］Y中学深受启发，在说课中很好地抓住这个教学点进行研讨，最终定下该点的教学策略：课堂开始引入外空交流，探索环节引入毕达哥拉斯的发现（百牛定理），证明环节介绍赵爽的勾股圆方图、欧几里得证明和总统证明，课外拓广要求学生收集勾股定理的证明，准备上一节汇报课。

在知识渊博的他人的参与下，Y中学和H区其他中学一起组成“说课圈”。H区数学教研活动多数在Y中学开展，在Y中学的积极组织下，其他中学的数学教师定期参加片区的教研活动，Y中学这种PCK下的说课就成了有效的教研形式。其他中学对Y中学针对每一个教学点的说课产生浓厚的兴趣，强烈要求参与他们的说课研讨并在本单位教师之间积极展开。Y中学的成功会起到一个很好的示范作用，必将带动H区全体数学教师专业的共同发展。要建立这样一个所谓“说课圈”，最为关键的问题可能就是有效的合作学习团体的建构，即要确保教师与知识渊博的他人一起工作。［3］除了教师教育者外，Y中学的L教师显然也是这样的他人，她毕业于肇庆学院已近10年（曾获肇庆学院第二届师范生教学技能大赛一等奖），有两年的山区支教经验，Y中学建校之初成功应聘，现已成为Y中学的教学骨干，她积极响应践行郭思乐教授的生本教育，率先实践H区倡导的磨课活动，笔者带领职前教师参加的磨课实际上已是她执教的第三次磨课。在她的带领下，数学教研组全体教师都积极参与同课异构、磨课，相互学习，每一位教师都在教学反思中成长。正如这样的他人总结：“勾股定理教什么，就是要教学生对该定理的发现和证明，这个发现和证明不是教师教给学生的，而是学生自主得出的，由发现该定理就能自然地得出证明的方法，这才是高超的教学艺术，应该是一气呵成、水到渠成的事情。因此，如何寻求突破“a2＋b2＝c2”就是本节课的教学重点和难点……”

普通意义下的说课这样的他人只有在参加校、市、省的说课比赛时才会介入，这样的说课效果可想而知，这是与PCK下的说课无法比拟的。

总之，PCK下的说课与普通意义下的说课有着本质的区别，是带着帮助教师获得某一特定教学内容的PCK的目的来进行说课的，说课时着力于每一个教学点，是真正促进教师专业发展的说课。说课着眼于教师PCK的生成，关键在于教师要掌握阅读教科书、相关的理论著作和论文的方法，能够从中提炼出自己需要的教与学的知识。通过说课，如何吸收和内化为自己的PCK，需要教师在教学中反思，在反思中实践，真正促成自己专业素养的提升，尽快成长为一名专家型教师。

［1］鲁献蓉．新课程改革理念下的说课［J］．课程·教材·教法，2003（7）：25－30．

［2］刘咏梅，虞秀云．说课的价值及其实现路径［J］．教育学术月刊，2008（2）：91－93．

［3］方勤华．对“说课”作为教师教育新工具的思考：兼与“研课”的比较［J］．河北师范大学学报：教育科学版，2014，16（3）：120－123．

［4］白益民．教师角色与教师发展新探［M］．北京：教育科学出版社，2001．

［5］袁维新．学科教学知识：一个教师专业发展的新视角［J］．外国教育研究，2005，32（3）：10－14．

［6］任宝贵，陈晓端．说课与教师专业发展［J］．教育科学研究，2009（2）：69－71．

［7］Park S，Oliver J S．Revisiting the Conceptualisation of Pedagogical Content Knowledge（PCK）：PCK as Conceptual Tool to Understand Teachers as Professionals［J］．Research in Education，2008：261－284．

［8］李伟胜．学科教学知识（PCK）的核心因素及其对教师教育的启示［J］．教师教育研究，2009，21（2）：33－38．

［9］宋萑．说课与教师知识建构［J］．课程·教材·教法，2012，32（04）：120－124．

［10］高卫哲，吴新宇．构建“说课”活动结构探析“说课”层次与程序［J］．中国成人教育，2006（5）：97－98．

［11］余宏亮，石耀华．论作为教师课程理解的说课及其心理转换［J］．课程·教材·教法，2013，33（6）：22－27．

［12］张奠宙，宋乃庆．数学教育概论［M］．北京：高等教育出版社，2009：114－119．

［责任编辑：黄晓娜］

G420

A

1002－1477（2015）07－0064－05

10．16165／j．cnki．22－1096／g4．2015．07．015

2015－02－02

广东省教育科学研究项目（2013JK179）；肇庆市哲学社会科学“十二五”规划2014年度项目（14zc－06）。

王传利（1975－），男，山东邹城人，讲师。