也谈双曲线渐近线概念的自然生成

☉陕西师范大学数学与信息科学学院深圳第二外国语学校 安 萍

☉深圳第二外国语学校 祁福义

也谈双曲线渐近线概念的自然生成

☉陕西师范大学数学与信息科学学院深圳第二外国语学校 安 萍

☉深圳第二外国语学校 祁福义

读罢文1，颇受启发，刚好我们也进行过几次同课题的教学，于是就把我们的教学整理了一下，录于此处，就教于大方之家.

一、关于双曲线渐近线概念生成的教学设计

1.渐近线：由反比例函数说起

学生在初中比较系统地学习了反比例函数的相关知识，如反比例函数的图像，反比例函数的一些简单性质等.

图1

如图1是某个反比例函数的图像，学生在初中就知道反比例函数的图像是两条双曲线，且有这样的图像特征：在第一象限的图像向上无限接近y轴正半轴，向右无限接近x轴正半轴，与坐标轴永不相交；在第三象限的图像向下无限接近y轴负半轴，向左无限接近x轴负半轴，与坐标轴永不相交.其实，直线x轴、y轴充当的就是渐近线的角色，于是在教学中，可以从以下两个角度进行反比例函数渐近线的说明.

（1）说明什么是渐近线.类比反比例函数，渐近线就是与函数图像无限趋近却永不相交的直线，即渐渐接近的直线之意.

（2）说明如何求反比例函数的渐近线.其实反比例函数的渐近线有两条：即x轴、y轴，也就是直线y=0和直线x=0，那么如何去求反比例函数的渐近线呢？它和哪些因素有关？这个从渐近线的图像特征出发即可得出结论，更一般地，可以引导学生通过函数的定义域和值域来考虑渐近线的求解，以反比例函数为例，定义域为{x|x≠0}，它的一条渐近线就是直线x=0，值域为{y|y≠0}，它的一条渐近线就是直线y=0.一旦学生掌握了这种方式，可以进一步拓展到类似反比例函数的渐近线求法，例如给出函数，通过计算定义域（即{x|x≠1}）和值域（即{y|y≠-1}）即可方便快捷地求出它的两条渐近线方程为直线x=1和直线y=-1.当然，也可以更进一步类比求出对勾函数的渐近线，例如对于函数易知x≠0且y≠x，所以它的两条渐近线就是直线x=0和直线y=x.更重要的是通过渐近线方程结合反比例函数的性质可以方便地画出类似于反比例函数和类似于对勾函数的函数图像（限于篇幅不再赘述），这对于学生更好地掌握函数知识是大有裨益的.

2.反比例函数的图像与双曲线：由形到式的变迁

反比例函数的图像和圆锥曲线中的双曲线的图像都是双曲线，那么这两个数学对象是不是有什么联系呢？如果有，除了图像，它们的表达式有什么联系？

图2

（2）反比例函数的渐近线方程的求法可否借用到双曲线渐近线方程的求法呢？

这个问题可以考虑能否把双曲线的标准方程转化为类似于反比例函数的表达式的形式，如果能，则可以借助求解反比例函数渐近线的方式进行求解.

3.双曲线的渐近线：由图形直观到本质探究的思考

再来看如何求双曲线的渐近线，借鉴上面的结论，先进行双曲线向反比例函数的转化，如何把双曲线方程转化为反比例函数的解析式？做代换x=a（m+n），y=b（m-n）①，整理即可得到该式即以n为自变量的反比例函数，由前面的想法知其两条渐近线为直线m=0和直线n= 0②.由①式解出m，n，得验证满足②式的x，y，即这就是所求双曲线的渐近线方程.

二、关于双曲线渐近线自然生成的几点思考

1.在教学中可以适当地进行“概念前置”

所谓“概念前置”就是将新概念融入到相关的已学知识中，在介绍已学知识就引入新概念，然后再对新概念进行深入研习.这样做有两点是值得关注的：一是可以避免学生初学新概念时的心理排斥，提供可供参考的已学知识作引导；另外也可以借助已学知识沟通新概念的内涵、外延.如前文所述，反比例函数的图像中坐标轴就充当了渐近线的角色，在描述反比例函数的图像走势后就可以适时引入渐近线的概念，既是对图像走势的简洁描述，也是对学生接受知识的自然过渡.

2.在教学中要注意初高中知识的衔接

从心理学的角度来说，教学中教师要关注学生所学知识的最近发展区，在学生的最近发展区展开教学更容易引起学生共鸣.而对于高中生来说，初中所学的基本知识就是基本的脚手架，利用好初高中衔接就可以切中最近发展区的要害，为学生学习新知提供“情理之中、意料之外”的学习体验.如前文所述，反比例函数的图像和双曲线的图像都是双曲线，它们必然有联系，它们有怎么样的联系？这样的联系对于学习渐近线知识有什么可资借鉴之处？从学生的这些最近发展区展开探讨，学生接受起来就会容易得多，而不会有“突然”多出个渐近线之感.

3.在教学抽象概念时要充分发挥数形结合的直观作用

在没有极限知识的前提下，如果没有图形，我们很难找到让学生更好地理解渐近线的方法.渐近线知识太抽象，描述起来总会觉得要么冗长繁杂、要么词不达意，此时多结合图形进行解释，学生的理解会好很多.如前文中对于反比例函数图像与双曲线图像的关系分析，就是借助图形直观得到的，让学生了解它们的初步关系，为深入分析提供指引.

1.余建国.如何实现双曲线的渐近线的自然生成［J］.中国数学教育，2014（6）.