“教、学、评一致性”教学实践探索——以“抛物线中的距离最值问题”教学为例

☉河南省郑州市第五中学 刘 进 李玉国

“教、学、评一致性”教学实践探索
——以“抛物线中的距离最值问题”教学为例

☉河南省郑州市第五中学 刘 进 李玉国

一、教材内容分析

“抛物线中的距离最值问题”是普通高级中学课程标准实验教科书（选修2-1）第二章《圆锥曲线与方程》中的内容，此部分内容综合性较强，也是高考的重点和热点.本课重点是借助对常见的距离问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.解决抛物线的距离最值问题，不仅要用到抛物线的定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式等重要知识，联系性广，策略性要求高.其基本思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是从代数和几何两个角度分析.由于抛物线是几何图形，所以借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择，但几何直观不能细致入微，往往需要借助代数工具来实现突破.

二、学习目标设置

1.课程标准描述

（1）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；

（2）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合思想.

2.课标分解路径

从知识分类、认知水平、学科内涵三个维度对课标分解如下：

3.学习目标

（1）通过小组合作，运用抛物线的定义解决抛物线中与焦点或准线有关的距离问题，概括出定义法及其适用范围，并能独立解释；

（2）结合实例，在教师引导下，运用函数法及切线法解决抛物线中距离的最小值问题，总结出函数法、切线法及其适用范围，并能独立解释；

（3）能根据题意选择恰当的方法解决抛物线中的最值问题，并能解决与课本例题同等难度的题目；

（4）体验数学中的数形结合、转化与化归及函数与方程思想在抛物线最值问题中的应用.

三、学情分析

学生虽然已经对椭圆、双曲线中的距离问题有了一定的了解和认识，但不少学生知识的联系性和系统性较弱，难以把散乱的知识融合在一起解决问题，加上运算能力、数形结合能力及转化能力都还不强，同时相对于椭圆和双曲线来说，抛物线有其特殊性（定义和性质），因此在创设问题情境以后，应让学生充分地思考、讨论，并在老师的引导下，合作探究，得出结论，进而构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略.

四、评价设计

评价任务1：小组讨论例1及变式1、2，解释它们的解答过程并归纳题型与方法.针对目标（1）.

评价任务2：（1）结合例2，学生独立思考后讲解，并归纳题型与方法；（2）教师引导，共同探索例3的解法.针对目标（2）.

评价任务3：（1）类比椭圆中的最值问题，学生思考并概括例1、例2的解题策略——定义法、切线法及函数法；（2）两位同学同时板演例2的两种解法；（3）对于例3及其变式，教师引导，学生思考、讨论，共同探索解题思路.针对目标（3）（4）.

五、教学过程实录

（一）知识链接

师：圆锥曲线中的最值问题是高中数学中很常见的一类题型，我们在学习直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系时，已经接触到一些相关的问题，今天我们继续研究抛物线中距离的最值问题，（板书课题）首先我们回顾几个问题.

问题1：在平面解析几何中，三个距离公式应用十分普遍，即：

（1）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2两点之间的距离为____________；

（2）设点P（x0，y0），直线l的方程为Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离为__________；

（3）设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则两平行直线l1、l2之间的距离为__________.

问题2：如何表示与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程？与直线y=kx+b平行的直线系方程呢？

生2：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程可表示为Ax+By+m=0，与直线y=kx+b平行的直线系方程可表示为y=kx+n.

问题3：最值（或取值范围）问题是高中数学中经常要探究的问题之一，那么遇到这类问题你会联想到哪些知识点或数学方法？请写出来.

生3：基本不等式、线性规划.

生4：求函数值域的几种常用方法、三角换元、数形结合等.

生5：上节课所讲的椭圆上的点到定直线的距离最值问题.

设计意图：复习该部分知识以及最值问题的几种常见求法，能为本节课的学习做好铺垫，更能帮助学生梳理知识脉络，理清知识的前后联系.

（二）典例分析

师：我们来看学案中的例1.

例1点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P为抛物线上一点，设点Q（2，1），求点P到点Q与到点F的距离之和的最小值，并求出此时点P的坐标.

学生思考1分钟，小组交流1分钟，小组选出代表讲解例1的解题过程和解题依据.

生6：作出抛物线的准线l：x=-1，过P向准线作垂线，垂足为H，则|PF|=|PH|，则|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|.过Q向l作垂线，垂足为M，交抛物线于点P′，过P作PN⊥QM于点N，易证|PH|=|NM|，|PQ|≥|QN|，则|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|≥ |QM|=3，等号成立时

师：归纳一下你的解题过程中有哪几个关键的步骤.

生7：第一，利用抛物线的定义得到|PF|+|PQ|=|PH|+ |PQ|；第二，当Q、P及垂足M三点共线时，距离之和最小.

师：给大家1分钟时间思考变式1.

变式1：设点（2，3），求点P到点M与到抛物线的准线的距离之和的最小值.

师：点M在抛物线内部还是外部？如何判断？（放慢语速，启发学生思考）有策略的同学请举手，（1/3的同学举手示意）小组内部交流1分钟的时间，然后小组代表展示.

生7：作PH⊥l于点H，连接PF，则|PF|=|PH|，则|PH|+ |PM|=|PF|+|PM|，连接MF交抛物线于点P′，则|PH|+|PM|=

师：解决此题的关键点在哪里？

生8：第一，利用抛物线的定义把到准线的距离转化为到焦点的距离；第二，利用三角形两边之和大于第三边找到距离之和的最小值.

师：给大家1分钟时间思考变式2.

变式2：求点P到抛物线的准线与到直线l1：y=x+4的距离之和的最小值.

师：有思路的同学请举手，（1/2的同学举手示意）小组代表上台讲解.

生9：过点F向直线l1作垂线，垂足为H，则|FH|即为所求的最小距离.

师：结合以上三个问题，你能总结出这类问题的解题策略吗？体现了怎样的数学思想？

生10：与抛物线的焦点或准线有关的距离最值问题，不要直接列式计算，否则，恰恰中了命题人设计的“圈套”，首先要联想抛物线的定义进行转化，这样问题将变得十分简单，体现了数形结合及化归与转化思想.

师：我们把这种方法叫做定义转化法.（板书）

设计意图：（1）与抛物线的焦点或准线有关的距离最值问题是高中数学中很常见的一类问题，如果利用直接法将很难计算，利用定义事半功倍；达成目标（1）（3）（4）；（2）进一步体会圆锥曲线中定义的特殊作用，渗透数形结合与化归转化思想，重视数学概念的理解与应用.

师：同学们接着看学案中的例2，1分钟的思考时间.

例2点P为抛物线C：y2=4x上任意一点，求点P到直线l：y=x+4的距离的最小值.

师：有思路的同学，请举手示意.（1/3的同学举手）

生11：可以平移直线l，当直线与抛物线相切时，切点到直线l的距离最小，这时两平行线间的距离即为所求.（不妨碍设为方法1）

生12：还可以设点P（x，y），则点P到直线l的距离d=（不妨设为方法2）

师：请这两位同学同时板演计算过程.

师：方法1中，设切线方程为y=x+b，直线和抛物线相切时，Δ=0，计算出的b为什么只有一个？当直线方程和抛物线方程发生改变时，b能否求出有两个？

生13：结合图形，不可能有两个.

师：在方法2中，点P的坐标的设法有几种？化为二次函数，函数的定义域是什么？你是怎么脱去绝对值符号的？由于抛物线上所有点都在直线的同侧，利用线性规划的有关知识，你能否一开始就脱去绝对值符号呢？这个问题由数学兴趣小组的同学课后带领大家解决.两种方法各自体现了什么样的解题策略？

生14：在椭圆、双曲线、抛物线中都曾遇到过类似的问题，若求圆锥曲线上一动点到一定直线的最短距离，我们有两种方法，方法1为几何法，即先计算切线方程，再计算两平行线间的距离；方法2为代数法，先设点P的坐标，构造距离的函数表达式，进而计算函数的最值.

师：我们把这两种方法分别叫做切线法和函数法.（板书）请看学案中的例3，1分钟的时间思考.

例3点P在抛物线y2=x上，定点A（3，0），求|PA|的最小值.

师：哪位同学愿意与大家分享你的做法？

生15：可以先设点P（y2，y），利用两点之间的距离公式构造关于y的函数表达式，再计算最值.

师：很好，其实点A好比是一个信号发射器，当信号发出后，最先到达的点即为所要找的点P，我们可以以点A为圆心，作出许多的同心圆，随着圆的半径不断增大，圆与抛物线会出现相切的情形，设此时圆的方程为（x-3）2+y2=r2.

师：请大家接着思考下面很具挑战性的一个变式.1分钟的时间思考，1分钟的时间小组交流.

变式：点P在抛物线y2=x上，点Q为圆（x-3）2+y2=1上一动点，求|PQ|的最小值.

师：若点P为某直线上的一动点，点Q为某圆周上一动点，直线与圆无交点，何时|PQ|最小？如何计算？

生16：直接过圆心向直线作垂线，只要求出圆心到直线的最小距离，再减去半径即得|PQ|的最小值.

设计意图：（1）抛物线上一动点到一定点或一定直线的距离问题是高考常考查的题目，突出函数法及切线法的应用；（2）类比直线与椭圆中的距离最值问题，直线与圆中的距离最值问题，画图分析，概括出解决圆锥曲线中距离问题的一种解题方法——切线法，同时总结出函数法是解决各类最值问题最为普遍的方法.达成目标（2）（3）（4）.

（三）回顾小结

学生交流、总结.本节课主要学习了一类题型、三种方法.

一类题型：抛物线中距离的最值问题；三种方法：定义转化法、切线法、函数法.

我们不仅要知道这三种方法，更要清楚使用这三种方法做题时的关键步骤在哪里.

设计意图：（1）进一步深化对本节内容的理解；（2）总结题型、提炼方法，使知识结构更系统.

（四）作业布置

1.检测题（必做题）

题1：已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使|PF|+|PM|取得最小值，并求点P的坐标.

题2：点F为抛物线C：y2=x的焦点，点P为抛物线上一点，设点M（2，2），求点P到点M与到y轴的距离之和的最小值.

题3：设P为抛物线y=x2上的一动点，求P点到直线l：3x-4y-6=0的距离的最小值.

2.拓展题（期中考试班级前30名者必做，其他同学选做）

题4：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A（4，4）、B（1，-2）的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求△ABP的最大面积及此时点P的坐标.

设计意图：（1）与学习目标相对应；（2）这四道题与三道例题形成对应，课后便于检测学生是否达成目标；（3）作业分层布置，能适合不同层次学生的学习需求；（4）拓展题综合性较强，有利于激发优等生的学习欲望.

六、教学感悟

“教、学、评一致性”的课堂设计，是指在课堂设计中达成学习目标、教学活动和评价任务三者的一致性.当前课堂中的教学设计并非都能做到这三方面的一致性，因为没有学习目标的系统思考，导致课堂教学中出现“虚目标”“泛目标”“去目标”等现象，教师教到哪里是哪里.因为没有评价设计的先行，学生学到多少是多少，究竟想达到怎样的学习结果、是否达到了预想的学习目标，并不清楚.这样的课堂，效率自然低下，因此，我们必须走到目标导向下的“教、学、评一致性”的课堂设计中来，以学习目标为导向，设计评价任务与教学活动，确保课堂教学的有效性.

学习目标的设计直接决定着教学的方向和质量，我们需要在综合分析中不断进行修改与调整，从而设计出最精准的学习目标.笔者在设计学习目标时是从以下三方面进行分析的：（1）以课程标准为依据；（2）正确把握教材的地位与特点；（3）研究学生的学情.

明确了学习目标之后，学生究竟能否到达目的地、到达的程度如何，是必须要关注的，接下来进行评价任务的设计.在评价任务设计过程中，笔者考虑了以下几个方面：（1）反复审视原定目标的合理性；（2）以学习目标为归宿设计评价；（3）在评价设计中思考可能的教学设计.学习目标与评价是相互作用的，目标为评价提供了标尺，而评价又为目标的调整提供了依据，可以说，这是从目标到评价再到目标的过程.在这个过程中，目标和评价各自发挥其对于教学的导向和反馈功能，从而提高课堂效率.

教师只有充分展开教学过程，才有可能实现“教、学、评一致性”.

首先，教学展开是指向目标的.什么时候该展开，什么时候不该展开，都是由目标决定的.目标中要求学生达到怎样的程度，教师的教学展开就应该达到怎样的程度.例如：在本节课中，笔者为了实现本节课第一个目标，把这个环节的教学设计为学生讨论，让学生讨论例1.在学生讨论时，笔者巡视，发现大部分学生是设出点P的坐标，列出距离之和的函数表达式进行计算，经过教师引导和部分学生的展示，学生能结合抛物线的定义并观察图形的变化过程，借助数形结合进行求解，这还不够，因为目标要求能解决抛物线中与焦点或准线有关的距离最值问题，还要让学生思考并交流两个变式的解题方法，融会贯通.笔者在学生交流之后，又请学生做进一步的归纳总结，最后教师再概括.在这个环节的教学中，笔者根据目标对教学进行了合理地、较为充分地展开，这样就确保了目标的达成.

其次，教学的充分展开是依托评价的.教学过程就是评价的实施过程，教学展开是否达到了目标的要求，需要评价的检测.还是上面的例子，笔者的评价是：（1）利用抛物线的定义，能解释图形的变化过程；（2）会合理论证三点共线时距离之和最小及能利用三角形两边之和大于第三边证明距离之和最小；（3）能紧扣抛物线的定义，对题型与方法进行准确地归纳.这个评价任务可以检测学生是否达到了目标要求的程度.这样评价既保证了教学展开的程度，也保证了“教、学、评一致性”的实现.我们常说，教师要时刻把握好教学的“度”，而这个“度”由谁来掌控？笔者想应该是我们的目标，目标决定了教学展开到何种程度，而评价则保证了这一过程的实施.

笔者认为本节课学习目标是始终在场的，它落实于评价，通过教学得以实现；课堂评价是全程跟进的，它引领学习、整合教学；教学活动是充分展开的，它依托评价，指向目标.教、学、评三者之间是一致的.这种“教、学、评一致性”的上课方式让教师知其所教，学生明其所学，确保了课堂的真正有效.